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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 3b

São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto x , y da elipse deva satisfazer.

  1. a = 4 F 1 = - 3,2 F 2 = - 3,6
  2. a = 3 F 1 = - 1 , - 1 F 2 = 1,1
  3. a = 3 F 1 = 0,0 F 2 = 1,1

Passo 1

Para resolvermos esta questão vamos ter de repetir todo o procedimento realizado na obtenção de uma equação da elipse.

Portanto, seja um ponto X = x , y . Ele pertence a elipse se, e somente se,

d X , F 1 +   d X , F 2 = 2 a

Agora, temos que substituir pelas expressões e começar o cálculo. Portanto,

x - - 1 2 + y - - 1 2 + x - 1 2 + y - 1 2 = 6

x + 1 2 + y + 1 2 + x - 1 2 + y - 1 2 = 6

Passo 2

Com a equação pronta, podemos partir para o desenvolvimento da equação.

Agora, vamos isolar uma raiz e elevar ambos os membros ao quadrado. Portanto,

x + 1 2 + y + 1 2 = 6 - x - 1 2 + y - 1 2

x + 1 2 + y + 1 2 2 = 6 - x - 1 2 + y - 1 2 2

x + 1 2 + y + 1 2 = 36 - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 + x - 1 2 + y - 1 2

x 2 + 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 = 36 - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 + x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1

2 x + 2 y = 36 - 12 x - 1 2 + y - 1 2 - 2 x - 2 y

Novamente, isolamos uma raiz e elevamos ao quadrado. Logo,

12 x - 1 2 + y - 1 2 = 36 - 4 x - 4 y

12 x - 1 2 + y - 1 2 2 = 36 - 4 x - 4 y 2

144 x - 1 2 + y - 1 2 = 1296 + 16 x 2 + 16 y 2 - 288 x - 288 y + 32 x y

144 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 1296 + 16 x 2 + 16 y 2 - 288 x - 288 y + 32 x y

144 x 2 + 144 y 2 - 288 x - 288 y + 288 = 1296 + 16 x 2 + 16 y 2 - 288 x - 288 y + 32 x y

1 28 x 2 + 1 28 y 2 - 32 x y - 1008 = 0

8 x 2 + 8 y 2 - 2 x y - 63 = 0

E assim chegamos à resposta da nossa questão!

Resposta

8 x 2 + 8 y 2 - 2 x y - 63 = 0

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