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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 26

São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto x , y da hipérbole deve satisfazer.

  1. a = 3           F 1 = 3 ,   - 3               F 2 = 3 ,   7
  2. a = 1           F 1 = 3,4                       F 2 = - 1 , - 2

Passo 1

  1. Notemos que o F 1 F 2 - é paralelo ao eixo O y . Temos

    2. 2 c = 7 - - 3 = 10 ∴ c = 5

    Como a = 3 e a 2 + b 2 = c 2 , segue que b = 4 .

    O centro da nossa hipérbole será o ponto médio do segmento focal, ou seja,

    O = F 1 + F 2 2 = 3 ,   - 3 + 3 ,   7 2 = 3 ,   2

    Passo 2

    Sabemos que a equação da hipérbole de centro x 0 ,   y 0 com eixo focal paralelo ao eixo O y é dada por

    - x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1 ⟹ - x - 3 2 16 + y - 2 2 9 = 1

    ∴ - 9 x 2 - 6 x + 9 + 16 y 2 - 4 y + 4 = 16 ⋅ 9

    ⟹ 9 x 2 - 16 y 2 - 54 x + 64 y + 161 = 0

    Passo 3

  2. Note que as coisas aqui se complicam um pouco, já que F 1 F 2 - não é paralelo nem ao eixo O x nem a O y . Dessa forma, temos que usar diretamente a definição!!

Passo 2

A definição nos diz que se P pertence à hipérbole, então

d P ,   F 1 - d P ,   F 2 = 2 a ⟺

x - 3 2 + y - 4 2 - x + 1 2 + y + 2 2 = 2 ⋅ 1 ⟺

x - 3 2 + y - 4 2 - x + 1 2 + y + 2 2 = ± 2 ⟺

x - 3 2 + y - 4 2 = x + 1 2 + y + 2 2 ± 2

Passo 3

Elevando ao quadrado a última equação

x - 3 2 + y - 4 2 = x + 1 2 + y + 2 2 ± 4 x + 1 2 + y + 2 2 + 4 ⟺

16 - 8 x - 12 y = ± 4 x + 1 2 + y + 2 2

Passo 4

Elevando novamente ao quadrado, temos

16 - 8 x - 12 y 2 = 16 x + 1 2 + 16 y + 2 2

Vamos trabalhar o lado esquerdo dessa equação:

E = 16 2 + 8 x 2 + 12 y 2 + 2 16 - 8 x + 16 - 12 y + - 8 x - 12 y

onde usamos a + b + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + a c + b c . Segue que

E = 64 x 2 + 144 y 2 - 256 x - 384 y + 96 x y + 256

Trabalhando o lado direito,

D = 16 x 2 + 32 x + 1 + 16 y 2 + 64 y + 64 ⟺

D = 16 x 2 + 16 y 2 + 32 x + 64 y + 64

Passo 5

Finalmente,

64 x 2 + 144 y 2 - 256 x - 384 y + 96 x y + 256 = 16 x 2 + 16 y 2 + 32 x + 64 y + 64 ⟺

48 x 2 - 128 y 2 - 288 x - 448 y + 96 x y + 192 = 0 ⟺

3 x 2 + 6 x y - 8 y 2 - 18 x - 28 y + 11 = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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