Os segmentos AN, BP e CM são dois a dois não paralelos. Dê uma condição necessária e suficiente sobre os vetores , e , que não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e congruentes a , e .

Esta questão parece bem complicada, mas na real, ela é mais simples do que parece.

Temos que formar um triângulo utilizando os vetores , e . Como eles não são paralelos dois a dois, podemos dizer que um destes triângulos é dado pela soma dos outros.

Se fizermos esta exigência, vamos conseguir um triângulo (3 lados, 3 vetores não paralelos), e com lados paralelos a , e .

Então, a ideia é usar soma de vetores aqui! Para finalizarmos, basta identificar quais os escalares que multiplicam cada um desses vetores.

E para respondermos à pergunta, a chave está na congruência aos segmentos , e . Para que haja congruência, não podemos nem aumentar nem diminuir a norma dos nossos vetores. Portanto, os únicos escalares possíveis são .

Desta forma, uma possível relação que garante a existência deste triângulo é:

OBS: percebam que tanto faz qual é o vetor resultante como também o sentido dos vetores. O importante é fechar um triângulo sendo que cada “corresponde” a cada vetor!