Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para o R 4 ?

a) 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 1,1 ;

b) 1 , - 1,0 , 2 , 3 , - 1,2 , 1 , 1,0 , 0,1 ;

c) 0,0 , 1,1 , - 1,1 , 1,2 , 1,1 , 0,0 , 2,1 , 2,1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para definirmos Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para o R 4 ?

a) 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 1,1 ;

b) 1 , - 1,0 , 2 , 3 , - 1,2 , 1 , 1,0 , 0,1 ;

c) 0,0 , 1,1 , - 1,1 , 1,2 , 1,1 , 0,0 , 2,1 , 2,1 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Antes de solucionarmos precisamos saber da equação vetorial que vale,

x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0

Com isso na letra (a) sabendo que,

1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 1,1 ;

Temos,

v 1 = 1,0 , 0,1   ; v 2 = 0,1 , 0,0 ;   v 3 = 1,1 , 1,1 ;     v 4 = [ 0,1 , 1,1 ]

Para A = [ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]

1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 → e s c a l o n a n d o

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Ficando somente a solução trivial

Portanto os vetores são L.I

Já na letra (b) para,

1 , - 1,0 , 2 , 3 , - 1,2 , 1 , 1,0 , 0,1 ;

Não é uma base pois 3 vetores não geram o R 4

Passo 3

Na letra ( c ) dado,

0,0 , 1,1 , - 1,1 , 1,2 , 1,1 , 0,0 , 2,1 , 2,1 .

Temos,

v 1 = 0,0 , 1,1 ;     v 2 = - 1,1 , 1,2 ;     v 3 = 1,1 , 0,0 ;     v 4 = [ 2,1 , 2,1 ]

Para,

A = [ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]

0 - 1 1 2 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 0 1 → e s c a l o n a n d o

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Assim a equação tem somente solução trivial sendo os vetores L.I. R 4

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Linearmente independente (L.I)

b) Não é uma base pois 3 vetores não geram o R 4

c) Linearmente independente (L.I)

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