No paralelepípedo retângulo da Figura 7-4 (b), H G , B C e C G medem, respectivamente, 3 , 1 e 2 .

a) Explique por que A B → ,   A E → ,   A D → é base e verifique se é ortonormal.

b) Explique por que, em relação à base do item (a),   A G → = ( 1 ,   1 ,   1 ) .

c) Mostre que o comprimento da diagonal A G é d = 14 .

d) Aplicando a fórmula [7-4] ao vetor   A G → , obtemos 3 . Explique a aparente contradição.

Passo 1

O problema pede para considerarmos o paralelepípedo da figura a seguir:

No item (a) temos que explicar por que A B → ,   A E → ,   A D → é uma base. A resposta é simples: os três não estão num mesmo plano, sendo assim LI. Como três vetores LI sempre formam uma base, o conjunto é uma base!

Mas precisamos tomar um cuidado: essa base não é ortonormal pois a norma dos vetores não são todas igual a 1 .

Passo 2

O vetor   A G → pode ser escrito como

A G → = A B → + B C → + C G →

Mas sabemos que   C G → = A E → e   B C → = A D → , de modo que

A G → = A B → +   A E → +   A D → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 3

A diagonal do paralelepípedo é dada por

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

Assim,

d 2 = 3 2 + 2 2 + 1 2 = 9 + 4 + 1 = 1 4

Logo,

d = 1 4

Passo 4

Usando as coordenadas do vetor A G → = ( 1 ,   1 ,   1 ) e calculando sua norma, obtemos 3 , que é diferente do comprimento da diagonal 1 4 . Por que isso?

A resposta é bem simples, só podemos usar a fórmula [7-4] para a norma de um vetor se a base for ortonormal, o que não é o caso!

Resposta

Demonstrações.

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