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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.4 - Ex. 12

Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M n n abaixo:

a) Matrizes simétricas;

b) Matrizes antissimétricas;

c) Matrizes de traço igual a zero;

d) Matrizes que tem a primeira linha igual a última coluna;

e) Matrizes em que a soma dos elementos da primeira linha e igual a soma dos elementos da última coluna.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão para determinar uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M n n abaixo:

a) Matrizes simétricas;

b) Matrizes antissimétricas;

c) Matrizes de traço igual a zero;

d) Matrizes que tem a primeira linha igual a última coluna;

e) Matrizes em que a soma dos elementos da primeira linha e igual a soma dos elementos da última coluna.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para matrizes simétricas

a j i = a i j , para i = 1 , … , n e j = i , … , n , sendo

{ E i j + E j i | i = 1 , … , n e j = i , … , n

assim a dimensão é igual a n - 1 + n - 2 + … + 1 = n ( n - 1 ) 2

Na letra (b) para matrizes antissimétricas, temos

a j i = a i j , para i = 1 , … , n e j = i , … , n

Com isso,

A dimensão desse espaço é igual a n - 1 + n - 2 + … + 1 = n ( n - 1 ) 2

Na letra ( c ) para matrizes de traço igual a zero

a n n = - a 11 - … - a n - 1 n - 1 , assim

A dimensão do espaço é,

n 2 - 1

Na letra (d) para matrizes que tem a primeira linha igual a última coluna.

a i n = a 1 i , assim a dimensão do espaço é

n - 1 2 + n - 2 + 1 = n 2 - n

Na letra (e) para matrizes em que a soma dos elementos da primeira linha igual a soma dos elementos da última coluna, ficando

n 2 - 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) n - 1 + n - 2 + … + 1 = n ( n - 1 ) 2

b)   n ( n - 1 ) 2

c) n - 1 2 + n - 2 + 1 = n 2 - n

d) n 2 - 1

e) n 2 - 1

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