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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 11

Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?

  1. x + 2 y - 3 z - 4 = 0     e   x - 4 y + 2 z + 1 = 0
  2. 2 x - y + 4 z + 3 = 0   e   4 x - 2 y + 8 z = 0
  3. x - y = 0   e   x + z = 0

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Vamos analisar cada um dos casos. Primeiro esse aqui:

  1. x + 2 y - 3 z - 4 = 0     e   x - 4 y + 2 z + 1 = 0

    2. Os vetores desses planos não são múltiplos, então eles não são paralelos nem coincidentes.

    O vetor diretor da reta da interseção é perpendicular aos vetores normais dos planos. Ou seja, podemos encontrá-lo calculando o produto vetorial entre eles:

    i j k 1 2 - 3 1 - 4 2 = - 8 i - 5 j - 6 k

    Então, esses planos se cortam por uma reta, cujo vetor diretor é ( - 8 , - 5 , - 6 ) .

    Passo 2

    Bora ver o próximo caso!

  2. 2 x - y + 4 z + 3 = 0   e   4 x - 2 y + 8 z = 0

    3. Observe uma coisa: os vetores normais desses planos são:

    2 ,   - 1,4   e   ( 4 , - 2 ,   8 )

    Percebe que esses vetores são múltiplos?

    Isso quer dizer que esses planos são paralelos ou coincidentes. Nesse caso, eles não possuem pontos em comum, então são paralelos.

    Ou seja: eles não se interceptam por uma reta!

    Passo 3

    Agora vamos para o terceiro caso:

  3. x - y = 0   e   x + z = 0

Aqui, os vetores normais são: 1 , - 1,0 e   ( 1,0 , 1 ) . Não são múltiplos, então os planos não são paralelos nem coincidentes.

Fazendo o produto vetorial entre os vetores:

i j k 1 - 1 0 1 0 1 = - 1 i - 1 j + 1 k

Então os planos se interceptam por uma reta que tem como vetor diretor: - 1 , - 1,1 .

Resposta

  1. x + 2 y - 3 z - 4 = 0     e   x - 4 y + 2 z + 1 = 0

    2. e

  2. x - y = 0   e   x + z = 0

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