Sejam,

w 1 = { x , y , z ∈ R 3 | x = y = z }

O subespaço de R 3 formado pelos vetores que têm as três componentes iguais e,

w 2 = { x , y , z ∈ R 3 | z = 0 }

O subespaço de R 3 formado pelos vetores que têm a terceira componente igual a zero. Mostre que,

R 3 = w 1 ⊕ w 2

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja,

w 1 = { x , y , z ∈ R 3 | x = y = z }

O subespaço de R 3 formado pelos vetores que têm as três componentes iguais e,

w 2 = { x , y , z ∈ R 3 | z = 0 }

O subespaço de R 3 formado pelos vetores que têm a terceira componente igual a zero. Mostre que,

R 3 = w 1 ⊕ w 2

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

w 1 = { x , y , z ∈ R 3 | x = y = z }

w 2 = { x , y , z ∈ R 3 | z = 0 }

Para acharmos,

R 3 = w 1 ⊕ w 2

Temos que,

v = a , b , c , ( z , z , z )

a , b , c = z , z , z + x , y , 0 = ( x + z , y + z , z )

Ficando com o sistema,

x + z = a y + z = b z = c

x = a - c ,     y = b - c ,     z = c

Portanto,

R 3 = w 1 ⊕ w 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x = a - c ,     y = b - c ,     z = c

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