Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 4d
- Quais dos seguintes são subespaços de ?
d) Todos os polinômios de grau 2.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
Esse conjunto não pode ser um espaço vetorial, pois quando somamos dois polinômios com os coeficientes do iguais, mas de sinal contrario, vamos obter um polinômio de grau menor. Olha só:
e
Quando somamos eles:
Podemos agrupar os termos semelhantes:
Esse não é mais um polinômio de grau 2, dessa forma esse conjunto não é fechado na soma, ou seja, a primeira condição não é válida.
Resposta
Não é um subespaço vetorial de .