Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 25
No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
Passo 1
A gente precisa verificar se valem duas propriedades:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.
Um vetor desse subconjunto vai ser desse formato:
Agora a gente pega dois vetores genéricos pra testar!
Passo 2
A soma dos vetores vai ficar:
Tem a cara certinha do nosso vetor genérico, né? Quatro vezes o primeiro, duas vezes o segundo, o terceiro com sinal de menos... Beleza, esse cara pertence ao subconjunto! Bora pra multiplicação!
Passo 3
Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer :
Também ficou direitinho, né, galera? Esse aí também tá no subconjunto, e aí se as duas propriedades valeram, o subconjunto é um subespaço!
Resposta
É um subespaço.