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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26b

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a b 0 c ,   a , b , c ∈ R (matrizes triangulares superiores)

Passo 1

Lembra que as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

E isso vale tanto pra vetores quanto pra matrizes! As propriedades de subespaço são iguaizinhas! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence.

Uma matriz desse subconjunto ser assim: M = a b 0 c , bem genérica.

Vamos pegar duas matrizes triangulares superiores pra testar as propriedades:

A = a b 0 c

B = d e 0 f

Passo 2

A soma delas vai ser:

A + B = a b 0 c + d e 0 f

A + B = a + d b + e 0 c + f

Continuou triangular superior, então tá sussa, valeu a primeira propriedade.

Passo 3

Multiplicando por um escalar qualquer α :

α M = α a b 0 c

α M = α a α b 0 α c

Essa também é triangular superior, então, como a soma e o produto por escalar estão no subconjunto, ele é um subespaço!

Resposta

É um subespaço.

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Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R ³ ³?a. ( x , y , z ) ; tais que z = x ³ ³.
d. ( x , y , z , w ) , tais que x = 0 e y = - w ;
e. ( x , y , z ) , tais que x = z = 0 ;
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? d. ( 1 ,1 ,0 ,0 ) , ( 1 ,2 ,- 1 ,1 ) , ( 0 ,0 ,1 ,1 ) , ( 2 ,1 ,2 ,2 ) ;
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? b. 1,2 , 1,0 , 1,1 , - 1,0 , 0,0 , 0,1 ;