Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 4a
4 Quais dos seguintes são subespaços de F()?
- Todas as funções f em F tais que f(0)=0.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:
e
Quando somamos duas funções e em a soma delas permanece em .
Só precisamos verificar que a função aplicada em zero permanece sendo zero
E ela permanece sendo igual a zero, ou seja, a primeira condição é válida.
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:
E um escalar qualquer:
Multiplicando os dois teremos continuaremos tendo uma função em . Precisamos verificar se a função aplicada em zero permanece sendo zero:
Que continua sendo igual a zero, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que essas funções são um subespaços de .
Resposta
É um subespaço vetorial de .