Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 1j
A seguir são dados operadores lineares em e em . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
Passo 1
A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.
Para construir a matriz de transformação, temos que
Assim,
Note que
Portanto, admite inversa e é invertível.
Passo 2
Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.
Multiplicando a segunda linha por e somando com a primeira:
Trocando a segunda com a terceira linha:
Fazendo a primeira linha menos a terceira:
Assim, a matriz inversa é
Passo 3
Assim, a transformação inversa é dada por
Portanto,
Resposta
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Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do R 4 utilizando o processo de Gram-Schmidt: W = [ 1,1 , 0,0 , 0,1 , 2,0 , 0,0 , 3,4 ] W = [ 2,0 , 0,0 , 1,3 , 3,0 , 3 , - 3 - 3,0 ]
Sejam u e v dois vetores linearmente independentes do R 3 . Mostrar que existem dois, e apenas dois vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v .
Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço euclidiano de dimensão finita. Provar que U ∩ V ⊥ = U ⊥ + V ⊥ .
Determine a isometria do R 3 cuja matriz em à base canônica é 1 2 1 2 0 0 0 1 x y z Obs. x , y e z devem ser determinados numericamente.
Mostre que I 2 - A I 2 + A - 1 é uma matriz ortogonal, onde A = 0 5 - 5 0 .