Seja L : R 3 → R 3 onde T é a projeção do veotr v no plano 3 x + 2 y + z = 0 .

  1. Encontre T ( x , y , z ) .
  2. Encontre uma base ordenada β de R 3 , tal que T β β = 1 0 0       0 0 0       0 0 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Considere o plano I I = v = x , y , z ∈ R 3 3 x + 2 y + z = 0 } . Portanto:

v = ( x , y , - 3 x - 2 y )

v = x 1,0 , - 3 + y 0,1 , - 2

Logo:

I I = 1,0 , - 3 , 0,1 , - 2

Com uma breve análise é possível notar que o vetor ( 3,2 , 1 ) é paralelo à normal do plano I I .

O conjunto β = 1,0 , - 3 , 3,2 , 1 , 0,1 , - 2 forma uma base para o R 3 e é tal que:

T 1,0 , - 3 = 1,0 , - 3

T 0,1 , - 2 = ( 0,1 , - 2 )

Pois T v = v . Temos também que:

T 3,2 , 1 = ( 0,0 , 0 )

Pois ( 3,2 , 1 ) é paralelo à normal do plano.

A representação matricial da transformação T em relação à base β é dada por:

  T β β = 1 0 0       0 0 0       0 0 1

Vamos então determinar a representação matricial da transformação T definida acima, em relação à base canônica.

T c a n c a n   = I c a n β ⋅ T β β ⋅ I β c a n

T c a n c a n   = 1 0 - 3       3 2 1       0 1 - 2 ⋅ 1 0 0       0 0 0       0 0 1 ⋅ 1 14 3 14 - 3 7       - 3 7 1 7 5 7       - 3 14 1 14 - 1 7

T c a n c a n   = 1 14 - 3 7 9 14       - 3 7 5 7 - 1 7       - 3 14 - 1 7 1 3 14

Portanto:

T x , y = 1 14 - 3 7 9 14       - 3 7 5 7 - 1 7       - 3 14 - 1 7 13 14 x y z

Passo 2

Como T v = v , ∀ v ∈ I I e T w = 0 , ∀ w   | | ( 3,2 , 1 ) podemos considerar β = v 1 , v 2 , v 3 , onde v 1 ,   v - 3 ∈ I I tal que v 1 , v 3 seja L . I . e v 2 | | ( 3,2 , 1 ) . Em particular poderíamos tomar:

β = 1,0 , - 3 , 3,2 , 1 , 0,1 , - 2

Resposta

a ) T x , y = 1 14 - 3 7 9 14       - 3 7 5 7 - 1 7       - 3 14 - 1 7 13 14 x y z

b ) β = 1,0 , - 3 , 3,2 , 1 , 0,1 , - 2

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