Enunciado

35. Seja A=[a]ij uma matriz n x n. Em cada caso, determine se A é simétrica.

(a) aij=i2+j2

(b) aij=i2-j2

(c) aij=2i+2j

(d) sij=2i2+2j3

Passo 1

Para uma matriz ser simétrica

A i j = A j i

Então é só fazer o teste para cada uma das letras e ver se a igualdade é verdadeira:

Passo 2

a)

A i j = A j i

i 2 + j 2 = j 2 + i 2

Invertendo a ordem da soma do termo da direita:

i 2 + j 2 = i 2 + j 2

O que é verdade, então A é simétrica nesse caso.

Passo 3

b)

A i j = A j i

i 2 - j 2 = j 2 - i 2

Tirando o menos 1 em evidência na parte da direita:

i 2 - j 2 = - i 2 - j 2

O que não é verdade, então A não é simétrica nesse caso.

Passo 4

c)

A i j = A j i

2 i + 2 j = 2 j + 2 i

Invertendo a ordem da soma do termo da direita:

2 i + 2 j = 2 i + 2 j

O que é verdade, então A é simétrica nesse caso.

Passo 5

d)

A i j = A j i

2 i 2 + 2 j 3 = 2 j 2 + 2 i 3

Dividindo por 2 a equação:

i 2 + j 3 = j 2 + i 3

O que não é verdade, então A não é simétrica nesse caso.

Resposta

a) Simétrica

b) Não simétrica

c) Simétrica

d) Não simétrica

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