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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 11

Considere em R 3 o produto interno

< x , y , z , x ' , y ' , z ' >   = x x ' + 5 y y ' + 2 z z '  

  1. Verifique se realmente é um produto interno.
  2. A partir da base { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) } ache uma base ortonormal.

Passo 1

  1. Vamos verificar os axiomas de produto interno.
  1. < x , y , z , x , y , z > = x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 ≥ 0 e a igualdade só ocorre quando x = y = z = 0 ;
  2. < α v 1 , v 2 > = α x 1 x 2 + 5 α y 1 y 2 + 2 α z 1 z 2 = α x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = α < v 1 , v 2 >
  3. < v 1 + v 2 , v 3 ≥ x 1 + x 2 x 3 + 5 y 1 + y 2 y 3 + 2 z 1 + z 2 z 3

    4. = x 1 x 3 + 5 y 1 y 3 + 2 z 1 z 3

    = < v 1 , v 3 > + < v 2 , v 3 >

  4. < v 1 , v 2 >   = x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 2 z 1 =   < v 2 , v 1 >

Como ele cumpre todos as propriedades, podemos dizer que realmente é um produto interno.

Passo 2

Agora vamos fazer as contas na letra B. A gente já esta familiarizado com o processo de Gram-Schmidt, então vamos aplicar:

u 1 = ( 1,0 , 0 )

Calculando a norma:

u 1 = < u 1 , u 1 > = 1 2 = 1

Logo:

e 1 = ( 1,0 , 0 )

Passo 3

Vamos calcular o segundo vetor:

u 2 = 0,1 , 0 - < 1,0 , 0 , 0,1 , 0 > 1,0 , 0 < 1,0 , 0 , 1,0 , 0 > = ( 0,1 , 0 )

Calculando a norma:

u 2 = < u 2 , u 2 > = 5

e 2 = 1 5 ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Vamos calcular o terceiro vetor:

u 3 = 0,0 , 1 - < 0,0 , 1 , 0,1 , 0 > 0,1 , 0 < 0,1 , 0 , 0,1 , 0 > - < 1,0 , 0 , 0,0 , 1 > 1,0 , 0 < 1,0 , 0 , 1,0 , 0 >

u 3 = ( 0,0 , 1 )

u 3 = < u 3 , u 3 > = 2

e 3 = 1 2 ( 0,0 , 1 )

Resposta

  1. Demonstração;
  2. Base: 1,0 , 0 , 1 5 0,1 , 0 , 1 2 0,0 , 1 .
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