Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 31
31. Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em .
Passo 1
Opaaa... beleza???
Primeira coisa que vamos fazer é separar essa bendita fórmula (4):
Onde e são vetores em em forma de coluna e uma matriz invertível.
Queremos provar que isso é um produto interno em . Pra provar vamos ter que verificar se os quatro axiomas são satisfeitos:
1.
2.
3.
4. e se, e só se, .
Passo 2
Vamos pegar uma matriz qualquer:
Vetores coluna:
E fazendo o produto de matrizes :
E agora :
Fazendo o produto interno:
Passo 3
Para o primeiro axioma temos:
Então bora fazer o lado direito:
Já calculamos essas coisas no passo 2, né?
E conseguimos ver que realmente são iguais:
Axioma 1 cheeeeck.
Passo 4
Para o segundo axioma:
Vamos definir um vetor qualquer:
Se somarmos os vetores e :
Então o produto escalar:
Repara que podemos abrir em:
E podemos reagrupar de tal forma:
Que isso tudo vira:
Ohhh... e repara bem que isso é igual a:
Shoooww... Conseguimos provar que:
Segundo axioma cheeeeck...
Passo 5
Vamos pro terceiro axioma:
Com:
Então vamos ter o produto interno:
Como temos em todos os termos na primeira parcela, então:
E ainda podemos melhorar colocando em evidência de novo, mas em relação a cada soma de parênteses:
Pois muito que bem conseguimos provar o terceiro aquioma:
Terceiro axioma também cheeeeck...
Passo 6
Bora lá que só falta um...
O quarto axioma:
Fazendo o produto interno:
Repara que temos, então:
E coisas elevadas ao quadrado ou são iguais a zero ou são sempre positivas.
Então já podemos afirmar que:
Passo 7
Maaass ainda falta a segunda parte:
Como tem essa bendita expressão “se, e só se” vamos dividir a prova em duas partes.
A primeira vai ser mostrar que se , então .
Bom... já temos que:
E, de fato, para temos duas opções. Ou todoooos os são iguais a zero ou
Mas se todos os elementos de fossem iguais a zero, a matriz não seria invertível, porque o determinante de daria zero.
(lembra que pra uma matriz ser invertível o determinante tem que ser diferente de zero?)
Então só nos resta .
Agora a segunda parte é mostrar que se , então
E, de fato, né? Se a gente substitui :
E conseguimos mostrar as duas partes.
Poissss, então conseguimos mostrar o quarto axioma:
Quarto axioma cheeeck.
E, depois de muito sufoco, acabamos. =)
Resposta
Prova nos passos