Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 10

Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço V e seja C = { u 1 , u 1 - u 2 , … , u 1 - u n } . Mostrar que C é tambpem uma base de V . Achar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B .

Passo 1

O problema sugere que B é uma base do espaço vetorial V . Isso quer dizer que, dado um conjunto de valores reais definidos como { λ 1 , … , λ n } a combinação linear

λ 1 u 1 + … + λ n u n = 0

Implica que { λ 1 , … , λ n } são necessariamente todos nulos. Logo sabendo que discutimos neste passo, vamos levar para os próximos o que sabemos e tentar provar o que o problema nos pede.

Passo 2

Tome a cambinação linear dos nosso vetores do conjunto C dado por

λ 1 u 1 + λ 2 ( u 1 - u 2 ) + … λ n ( u 1 - u n ) = 0

E abrindo os termos, ficamos

= λ 1 u 1 + λ 2 u 1 + … + λ n u 1 - λ 2 u 2 - … - λ n u n = 0

Que podemos reescrever como

= λ 1 + λ 2 + … λ n u 1 - λ 2 u 2 - … - λ n u n = 0

Mas como sabemos que { u 1 , … u n } é base, sabemos que a unica situação possível será que

λ 1 + λ 2 + … λ n = 0

λ 2 = 0

⋯

λ n = 0

Como todos são nulos, temos que λ 1 também é zero, ou seja, para

λ 1 u 1 + λ 2 ( u 1 - u 2 ) + … λ n ( u 1 - u n ) = 0

Todos os λ é zero e C também é base.

Passo 3

Agora queremos achar uma matriz mundança de base de B para C , assim tomemos que podemos escrever os vetores da base C a partir de uma combinação linear dos vetores de B , ou seja

u 1 = α 11 u 1 + … + α n 1 u n

u 1 - u 2 = a 12 u 1 + … + a n 2 u n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

u 1 - u n = α 1 n u 1 + … + α n n u n

Assim observe que podemos dizer que nossa matriz definidas por a i j é descrita como

M B C = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a _ n 1 a n 2 ⋯ a n n = 1 1 1 1 ⋯ 1 0 - 1 0 0 ⋯ 0 0 0 - 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1  

Na qual a diagonal oposta que é preenchida por 1 , que é dita nossa matriz mudança de base de B para C .

Passo 4

Bom, se agora queremos a matriz de C para B , então devemos escrever nossos vetores de B como uma combinação linear dos vetores de C , ou seja

u 1 = b 11 u 1 + b 21 u 1 - u 2 + … + b n 1 u 1 - u n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

u n = b 1 n u 1 + b 2 n u 1 - u 2 + … + b n n u 1 - u n

Arrumando os termos do lado esquerdo, como fizemos no passo 2, temos

u 1 = b 11 + b 21 + … + b n 1 u 1 - b 21 u 2 - … - b n 1 u n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

u n = b 1 n + b 2 n + … + b n n u 1 - b 2 n u 2 - … - b n n u n

Assim queremos que para a primeira linha

b 11 + b 21 + … + b n 1 = 1

Enquanto

b 21 = b 31 = … = b n 1 = 0 → b 11 = 1

A segunda linha queremos

b 1 2 + b 2 2 + … + b n 2 = 0

Enquanto

- b 2 2 = 1 → b 2 2 = - 1

Assim nesta linha fazemos b 1 2 = 1

Seguindo para uma linha j qualquer, temos que

b 1 j + b 2 j + … + b n j = 0

Enquanto

b j j = - 1 e b j 1 = 1

Assim nossa matriz pode ser escrita como

M C B   = b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b n 1 b n 2 ⋯ b n n = 1 1 1 1 ⋯ 1 0 - 1 0 0 ⋯ 0 0 0 - 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1  

Ou seja, a mesma matriz que vai, volta.

Resposta

M = M B C = M C B = 1 1 1 1 ⋯ 1 0 - 1 0 0 ⋯ 0 0 0 - 1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1 , 2 , 0,1 )d oR 2
Verifique se são semelhantes as matrizes: - 1 - 2 1 2 e 1 0 0 0
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 0,1 , 0,0 , 2,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 , 0,0 , 0,3d oR 4
Sejam F 1 e F 2 ∈ R 3 * definidas por F 1 x , y , z = x - 3 y + 2 z e F 2 x , y , z = 2 x - y + z . Determinar F 1 + F 2 , 2 F 1 + 3 F 2 e os respectivos núcleos.
Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço vetorial V e seja C = { v 1 , … , v n } onde v i = u n - i + 1 . Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C .