Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.8 - Ex. 9
Seja uma base do espaço vetorial e seja onde . Provar que é uma base de e calcular a matriz de mudança de para .
Passo 1
O problema sugere que é uma base do espaço vetorial . Isso quer dizer que, dado um conjunto de valores reais definidos como a combinação linear
Implica que são necessariamente todos nulos. Logo sabendo que discutimos neste passo, vamos levar para os próximos o que sabemos e tentar provar o que o problema nos pede.
Passo 2
Tome a cambinação linear dos nosso vetores do conjunto dado por
Se tomarmos a relação dada por , ficamos com
Na qual sabemos que é base, então temos que são necessariamente nulos, implicando que também é uma base de .
Passo 3
Agora queremos achar uma matriz mundança de base de para , assim tomemos que podemos escrever os vetores da base a partir de uma combinação linear dos vetores de , ou seja
Mas já sabemos a relação entre e , certo, ou seja
Implicando que
Na qual a diagonal oposta que é preenchida por , que é dita nossa matriz mudança de base de para .