Enunciado

Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço vetorial V e seja C = { v 1 , … , v n } onde v i = u n - i + 1 . Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C .

Passo 1

O problema sugere que B é uma base do espaço vetorial V . Isso quer dizer que, dado um conjunto de valores reais definidos como { λ 1 , … , λ n } a combinação linear

λ 1 u 1 + … + λ n u n = 0

Implica que { λ 1 , … , λ n } são necessariamente todos nulos. Logo sabendo que discutimos neste passo, vamos levar para os próximos o que sabemos e tentar provar o que o problema nos pede.

Passo 2

Tome a cambinação linear dos nosso vetores do conjunto C dado por

λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + … λ n v n = 0

Se tomarmos a relação dada por v i = u n - i + 1 , ficamos com

λ 1 u n - 1 + 1 + λ 2 u n - 2 + 1 + … + λ n - 1 u n - n - 1 + 1 + λ n u n - n + 1 = 0

= λ 1 u n + λ 2 u n - 1 + … + λ n - 1 u 2 + λ u 1 = 0

Na qual sabemos que { u 1 , … , u n } é base, então temos que { λ 1 , … , λ n } são necessariamente nulos, implicando que { v 1 , … , v n } também é uma base de V .

Passo 3

Agora queremos achar uma matriz mundança de base de B para C , assim tomemos que podemos escrever os vetores da base C a partir de uma combinação linear dos vetores de B , ou seja

v 1 = α 11 u 1 + … + α n 1 u n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

v n = α 1 n u 1 + … + α n n u n

Mas já sabemos a relação entre v i e u j , certo, ou seja

v 1 = α 11 u 1 + … + α n 1 u n = u n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

v n = α 1 n u 1 + … + α n n u n = u 1

Implicando que

M = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n = 0 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 0

Na qual a diagonal oposta que é preenchida por 1 , que é dita nossa matriz mudança de base de B para C .

Resposta

M = 0 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 0

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