Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 3c
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:
Passo 1
Teorema 1 - Seja uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações e que associam cada elemento u e os elementos e respectivamente, configuram uma base dual da base .
Assim seja nossa base dual dada por , na qual temos que e podem ser escritas como
Além disso temos que
Ou seja, leva nossos vetores ao primeiro vetor da base canônica, isto é, a base que constroi nosso espaço . Logo nosso unico trabalho é calcular quem são nossos elementos e com .
Passo 2
Matematicamente já apresentamos o que fazer, certo? Se não hahaha seguimos. Tomando o que apresentamos no Passo 1, temos então que
Assim como supomos escrever nossas Transformações, então podemos escrever
E
E agora precisamos resolver cada um desses sistemas. Por “sorte”, eles são visualmente fáceis de resolver, certo? Siga-me os bons...
Passo 3
Então como diria Jack Estripador, vamos por partes. Para
Na primeira equação temos que . Agora se olharmos para a segunda equação
Já a terceira equação
E a quarta equação
Então temos que
Para temos agora que pela primeira equação e consequemente temos que pela segunda equação
e seguem a mesma lógica que fizemos para , ou seja . Então temos que
Para , temos que a primeira equação dos dará que implicando que . A quarta equação nos dira que fazendo assim chegarmos na terceira equação
Ou seja
E por ultimo temos que para , seguimos a mesma lógica que outras aplicações, o que implica que . A quarta equação nos da que e a terceira dos dá
Ou seja
Por fim, temos que
Nossa base dual.