Enunciado

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:

0,1 , 0,0 , 2,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 , 0,0 , 0,3   d o   R 4

Passo 1

Teorema 1 - Seja B = u 1 , u 2 , u 3 , u 4 uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações F 1 ,   F 2 ,   F 3 e F 4 que associam cada elemento u = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 ∈ U e os elementos x 1 ,   x 2 , x 3 e x 4 respectivamente, configuram uma base dual da base B .

Assim seja nossa base dual dada por F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , na qual temos que F 1 ,   F 2 ,   F 3 e F 4 podem ser escritas como

F 1 x , y , z , t = a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 t

F 2 x , y , z , t = b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 4 t

F 3 x , y , z , t = c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 t

F 4 x , y , z , t = d 1 x + d 2 y + d 3 z + d 4 t

Além disso temos que

F 1 0,1 , 0,0 = 1 ,     F 1 2,1 , 0,0 = 0 ,     F 1 0,0 , 1,1 = 0 ,     F 1 0,0 , 0,3 = 0

Ou seja, F 1 leva nossos vetores ao primeiro vetor da base canônica, isto é, a base que constroi nosso espaço R 4 . Logo nosso unico trabalho é calcular quem são nossos elementos a i ,   b i , c i e d i com i = 1,2 , 3,4 .

Passo 2

Matematicamente já apresentamos o que fazer, certo? Se não hahaha seguimos. Tomando o que apresentamos no Passo 1, temos então que

F 1 0,1 , 0,0 = 1 ,   F 1 2,1 , 0,0 = 0 ,   F 1 0,0 , 1,1 = 0 , F 1 0,0 , 0,3 = 0 F 2 0,1 , 0,0 = 0 ,   F 2 2,1 , 0,0 = 1 ,   F 2 0,0 , 1,1 = 0 , F 2 0,0 , 0,3 = 0 F 3 0,1 , 0,0 = 0 ,   F 3 2,1 , 0,0 = 0 ,   F 3 0,0 , 1,1 = 1 , F 3 0,0 , 0,3 = 0 F 4 0,1 , 0,0 = 0 ,   F 4 2,1 , 0,0 = 0 ,   F 4 0,0 , 1,1 = 0 , F 4 0,0 , 0,3 = 1

Assim como supomos escrever nossas Transformações, então podemos escrever

F 1 : 0 a 1 + a 2 + 0 a 3 + 0 a 4 = 1 2 a 1 + a 2 + 0 a 3 + 0 a 4 = 0 0 a 1 + 0 a 2 + a 3 + a 4 = 0 0 a 1 + 0 a 2 + 0 a 3 + 3 a 4 = 0

F 2 : 0 b 1 + b 2 + 0 b 3 + 0 b 4 = 0 2 b 1 + b 2 + 0 b 3 + 0 b 4 = 1 0 b 1 + 0 b 2 + b 3 + b 4 = 0 0 b 1 + 0 b 2 + 0 b 3 + 3 b 4 = 0

F 3 : 0 c 1 + c 2 + 0 c 3 + 0 c 4 = 0 2 c 1 + c 2 + 0 c 3 + 0 c 4 = 0 0 c 1 + 0 c 2 + c 3 + c 4 = 1 0 c 1 + 0 c 2 + 0 c 3 + 3 c 4 = 0

E

F 4 : 0 d 1 + d 2 + 0 d 3 + 0 d 4 = 0 2 d 1 + d 2 + 0 d 3 + 0 d 4 = 0 0 d 1 + 0 d 2 + d 3 + d 4 = 0 0 d 1 + 0 d 2 + 0 d 3 + 3 d 4 = 1

E agora precisamos resolver cada um desses sistemas. Por “sorte”, eles são visualmente fáceis de resolver, certo? Siga-me os bons...

Passo 3

Então como diria Jack Estripador, vamos por partes. Para F 1

Na primeira equação temos que a 2 = 1 . Agora se olharmos para a segunda equação

2 a 1 + a 2 = 0 → a 1 = - 1 2

Já a terceira equação

a 3 = - a 4

E a quarta equação

a 4 = 0 → a 3 = 0

Então temos que

F 1 x , y , z , t = - 1 2 x + y

Para F 2 temos agora que pela primeira equação b 2 = 0 e consequemente temos que pela segunda equação

2 b 1 + b 2 = 1 → b 1 = 1 2

b 3 e b 4 seguem a mesma lógica que fizemos para F 1 , ou seja b 3 = b 4 = 0 . Então temos que

F 2 x , y , z , t = x 2

Para F 3 , temos que a primeira equação dos dará que c 2 = 0 implicando que c 1 = 0 . A quarta equação nos dira que c 4 = 0 fazendo assim chegarmos na terceira equação

c 3 + c 4 = 1 → c 3 = 1

Ou seja

F 3 x , y , z , t = z

E por ultimo temos que para F 4 , seguimos a mesma lógica que outras aplicações, d 2 = 0 o que implica que a 1 = 0 . A quarta equação nos da que d 4 = 1 / 3 e a terceira dos dá

d 3 + d 4 = 0 → d 3 = - 1 / 3

Ou seja

F 4 x , y , z , t = - z 3 + t 3

Por fim, temos que

F 1 ,   F 2 , F 3 , F 4 = - x 2 + y , x 2 , z , - z 3 - t 3

Nossa base dual.

Resposta

- x 2 + y , x 2 , z , - z 3 - t 3

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