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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 10

Verifique se são semelhantes as matrizes:

([[-,1,-,2],[1,2]]) e ([[1,0],[0,0]])

Passo 1

Dizemos que suas matrizes A e B são semelhantes, se e somente se, existe uma matriz M , tal que podemos escrever que

A = M^(- 1) B M

Na qual M^(- 1) significa a inversa de M .

Em nosso problema, queremos saber se existe uma matriz M dada por

M = ([[a,b],[c,d]])

Na qual podemos escrever que

M^(- 1) ([[-,1,-,2],[1,2]]) M = ([[1,0],[0,0]])

Passo 2

Segue que uma notação matemática é fazer que, se dividirmos os dois lados por M^(- 1) então teriamos que

(1)/(M^(- 1)) = M

Sabemos que estamos lidando com matrizes, mas isso é real hahaha. Então nossa demonstração fica mais simples, não? Pois agora queremos saber se existe uma M tal que

([[-,1,-,2],[1,2]]) M = M ([[1,0],[0,0]])

Passo 3

Agora vamos colocar a mão na massa e começar a resolver realmente nosso problema. Do lado esquerdo temos

([[-,1,-,2],[1,2]]) ([[a,b],[c,d]]) = ([[-,a,-,c,-,b,-,2,d],[a,+,2,c,b,+,2,d]])

E do lado esquerdo

([[a,b],[c,d]]) ([[1,0],[0,0]]) = ([[a,0],[c,0]])

Logo queremos saber se é possível

([[-,a,-,c,-,b,-,2,d],[a,+,2,c,b,+,2,d]]) = ([[a,0],[c,0]])

Ou seja

{[[[[- a - c = a],[- b - 2 d = 0],[a + 2 c = c]]],[b + 2 d = 0]])

Tome a primeira e a terceira equação

{[[- a - c = a -> c = - 2 a],[a + 2 c = c -> a = - c]] -> c = 0 e a = 0)

A segunda e quarta equação

{[[- b - 2 d = 0 -> b = - 2 d],[b + 2 d = 0 -> b = - 2 d]])

As duas equações são identicas, ou seja, só temos uma unica condição, b = - 2 d

Logo temos que nossa matriz M pode ser escrita como

M = ([[0,-,2],[0,1]])

Indicando que nossa matrizes são semelhantes.

Resposta

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