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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 3b

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:

1 , 2 , 0,1 )   d o   R 2

Passo 1

Teorema 1 - Seja B = u 1 , u 2 uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações F 1 e F 2 que associam cada elemento u = x 1 u 1 + x 2 u 2 ∈ U e os elementos x 1 e x 2 respectivamente, configuram uma base dual da base B .

Assim seja nossa base dual dada por F 1 , F 2 , na qual temos que F 1 e F 2 podem ser escritas como

F 1 x , y = a 1 x + a 2 y

F 2 x , y = b 1 x + b 2 y

Além disso temos que

F 1 1 , 2 = 1 ,   F 1 0,1 = 0

Ou seja, F 1 leva nossos vetores ao primeiro vetor da base canônica, isto é, a base que constroi nosso espaço R 2 . Logo nosso unico trabalho é calcular quem são nossos elementos a i ,   b i e c i com i = 1,2 .

Passo 2

Matematicamente já apresentamos o que fazer, certo? Se não hahaha seguimos. Tomando o que apresentamos no Passo 1, temos então que

F 1 1,2 = 1 ,   F 1 0,1 = 0 F 2 1,2 = 0 ,   F 2 0,1 = 1

Assim como supomos escrever nossas Transformações, então podemos escrever

F 1 : a 1 + 2 a 2 = 1 a 2 = 0

E

F 2 : a 1 + 2 a 2 = 0 a 2 = 1

Então para F 1 temos que a 2 = 0 o que implica que a 1 = 1 . E para F 2 temos que a 2 = 1 , então a 1 = - 1 . Desta forma temos que nossa base dual pode ser escrita como

F 1 ,   F 2 = x , - x + y

nossa base dual.

Resposta

x , - x + y

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Sejam v 1 = 1 3 e v 2 = - 1 4 e seja A = 1 3 - 2 5 A matriz de T : R 2 → R 2 em relação á base B = { v 1 ,v 2 } .Encontre T v 1 B e T v 2 B .Encontre T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .Encontre uma fórmula para T
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Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p x .Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = u 1 ,u 2 ,u 3 eB ' = { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } Em que u 1 = 1 , u 2 = x , u