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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

Seja S = { W 1 ,   . . . ,   W k } uma base ortogonal de um subespaço W de R n . Mostre que todo vetor V de W pode ser escrito como

V = V ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 W 1 + V ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 W 2 +   . . .   + V ⋅ W k | | W k | | 2 W k .

(Sugestão: escreva V = x 1 W 1 +   . . .   + x k W k , faça o produto escalar de V com W i e conclua que x i = V ⋅ W i | | W i | | 2 , para i = 1 ,   . . . ,   k . )

Passo 1

Eaew, tudo bem?

A sugestão deste problema é um ótimo caminho a se seguir, no entanto, vale a pena relembrar algumas definições e propriedades, primeiro, temos que vetores são ortogonais se:

X ⋅ Y   =   0

Temos também a propriedade de multiplicação por escalar no produto escalar, que diz:

X ⋅ ( α Y ) = α ( X ⋅ Y )

temos também a propriedade associativa, que diz

X ⋅ ( Y + Z )   =   X ⋅ Y + X ⋅ Z

e para finalizar, a cereja no bolo é:

| | X | | = X ⋅ X

Isso é o suficiente para resolvermos esta questão, bora lá!

Passo 2

Se escrevermos o vetor que o enunciado sugere, temos que:

V = x 1 W 1 +   . . .   + x k W k

e então tomar o produto escalar com um vetor W i , temos que:

V ⋅ W i = ( x 1 W 1 +   . . .   + x k W k ) ⋅ W i

Consegue adivinhar o que dá para fazer com isso? Saca só!

Passo 3

Note agora que, como S = { W 1 ,   . . .   ,   W k } é uma base ortogonal, pela definição de ortogonalidade, temos que W i ⋅ W k = 0 se i ≠ k . Portanto, usando as propriedades que introduzi no passo 1 e a definição de módulo, temos:

V ⋅ W i = x i | | W i | | 2 → x i = V ⋅ W i | | W i | | 2

Ou seja, para cada valor de i = 1 ,   . . .   , k , temos que o valor das constantes multiplicativas é bem definida, resultando em:

V = V ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 W 1 + V ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 W 2 +   . . .   + V ⋅ W k | | W k | | 2 W k

A questão era isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Os vetores x → e y → formam um ângulo de 60 ° . Sabendo que x → = 1 , y → = 2 , a → = x → + 2 y → e b → = 2 x → - y → , pedem-se: | a → | , b → e o ângulo entre a → e b → . Num desenho, represente x →
Determine o ângulo formado pelos vetores não nulos u → e v → , sabendo que u → = v → = | u → + v → | .
Na figura, a → = b → = c → = 2 , ∠ a → ,b → = 90 ° ,∠ a → ,c → = 60 °e ∠ b → ,c → = 60 ° . Determine o ângulo formado pelos vetores a → + b → e a → + c → .
Supondo a →eb → não nulos, demonstre algebricamente que: a → + b → = a → + b → se, e somente se a →eb → são paralelos e de mesmo sentido.
A figura representa um cubo de lado 1. Portanto, F = O A → , O B → , O C → é uma base ortonormal.Prove que H = ( O P → , O Q → , O R → ) é uma base. É ortonormal?