Seja S = { W 1 ,. . . ,W k } uma base ortogonal de um subespaço W de R n . Mostre que todo vetor V de W pode ser escrito como V = V ⋅ W 1 | | W 1 | | 2 W 1 + V ⋅ W 2 | | W 2 | | 2 W 2 +. . .+ V ⋅ W k | | W k | | 2 W k . (Sugestão: escreva V = x 1 W 1 +. . .+ x k W k , faça o produto escalar de V com W i e conclua que x i = V ⋅ W i | | W i | | 2 , para i = 1 ,. . . ,k . )

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

Seja uma base ortogonal de um subespaço de . Mostre que todo vetor de pode ser escrito como

(Sugestão: escreva , faça o produto escalar de com e conclua que , para

Passo 1

Eaew, tudo bem?

A sugestão deste problema é um ótimo caminho a se seguir, no entanto, vale a pena relembrar algumas definições e propriedades, primeiro, temos que vetores são ortogonais se:

Temos também a propriedade de multiplicação por escalar no produto escalar, que diz:

temos também a propriedade associativa, que diz

e para finalizar, a cereja no bolo é:

Isso é o suficiente para resolvermos esta questão, bora lá!

Passo 2

Se escrevermos o vetor que o enunciado sugere, temos que:

e então tomar o produto escalar com um vetor , temos que:

Consegue adivinhar o que dá para fazer com isso? Saca só!

Passo 3

Note agora que, como é uma base ortogonal, pela definição de ortogonalidade, temos que se . Portanto, usando as propriedades que introduzi no passo 1 e a definição de módulo, temos:

Ou seja, para cada valor de , temos que o valor das constantes multiplicativas é bem definida, resultando em:

A questão era isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Os vetores x → e y → formam um ângulo de 60 ° . Sabendo que x → = 1 , y → = 2 , a → = x → + 2 y → e b → = 2 x → - y → , pedem-se: | a → | , b → e o ângulo entre a → e b → . Num desenho, represente x →

Determine o ângulo formado pelos vetores não nulos u → e v → , sabendo que u → = v → = | u → + v → | .

Na figura, a → = b → = c → = 2 , ∠ a → ,b → = 90 ° ,∠ a → ,c → = 60 °e ∠ b → ,c → = 60 ° . Determine o ângulo formado pelos vetores a → + b → e a → + c → .

Supondo a →eb → não nulos, demonstre algebricamente que: a → + b → = a → + b → se, e somente se a →eb → são paralelos e de mesmo sentido.

A figura representa um cubo de lado 1. Portanto, F = O A → , O B → , O C → é uma base ortonormal.Prove que H = ( O P → , O Q → , O R → ) é uma base. É ortonormal?