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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 15a

Seja E uma base ortonormal positiva.

(a) Dadas as matrizes quadradas A e B , de ordem 3, indiquemos por a → 1 ,   a → 2 ,   a → 3 os vetores-coluna de   A na base E (nessa ordem) e por b → 1 ,   b → 2 ,   b → 3 os vetores-coluna de B na base E (nessa ordem). Mostre que os elementos c i j da matriz-produto A t B é igual a a a → i . b → j   i , j = 1 ,   2 ,   3 .

Passo 1

Bora lá!

Para facilitar o entendimento do nosso exercício, vamos denotar cada um dos VETORES-COLUNA ditos no enunciado como:

a → 1 = a 11 , a 12 , a 13

a → 2 = a 21 , a 22 , a 23

a → 3 = a 31 , a 32 , a 33

b → 1 = a 11 , a 12 , a 13

b → 2 = a 21 , a 22 , a 23

b 3 = a 31 , a 32 , a 33

Reescrevendo as matrizes A e B , temos:

A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⇒ A t = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

B = b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 b 13 b 23 b 33

Passo 2

Sendo a matriz C = A t B , então:

C = A t B

C = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 b 13 b 23 b 33

C = a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 13 b 13 a 11 b 21 + a 12 b 22 + a 13 b 23 a 11 b 31 + a 12 b 32 + a 13 b 33 a 21 b 11 + a 22 b 12 + a 23 b 13 a 21 b 21 + a 22 b 22 + a 23 b 23 a 21 b 21 + a 22 b 22 + a 23 b 23 a 31 b 11 + a 32 b 12 + a 33 b 13 a 31 b 21 + a 32 b 22 + a 33 b 23 a 31 b 31 + a 32 b 32 + a 33 b 33

C = a → 1 . b → 1 a → 1 . b → 2 a → 1 . b → 3 a → 2 . b → 1 a → 2 . b → 2 a → 2 . b → 3 a → 3 . b → 1 a → 2 . b → 3 a → 3 . b → 3

Passo 3

Note que cada elementro da nossa matriz C = A t B encontrada no passo anterior é dada pela seguinte fórmula:

c i j = a → 1 . b → 1 ,   i , j = 1,2 , 3

Portanto, cada elemento da matriz C = A t B é c i j = a → 1 . b → 1 ,   i , j = 1,2 , 3 , onde a → i e b → j são os vetores colunas das matrizes A e B .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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