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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 2

O vetor   w → é ortogonal aos vetores u → e v → ,   u → = 1 ,   v → = 2 ,   w → = 3 e o ângulo formado por u →   e   v → mede 30 ° .

  1. Calcule u → ,   v → ,   w → , sabendo que é um número positivo.
  2. Se a → = 2 u → ,     b → = v → + w →   e   c → = u → - v → + w → , calcule a → ,   b → ,   c → .

Passo 1

E aí pessoal, beleza?

Para o item a), como w → é ortogonal aos vetores e o produto misto é um número positivo, então:

u → ,   v → ,   w → = u → ^ v → w → c o s α

Em que α é zero pois u → ^ v → é um vetor ortogonal a w → e como o produto misto é um número positivo, então esses vetores devem ter a mesma direção e sentido.

Passo 2

Agora vamos calcular u → ^ v → :

u → ^ v → = u → v → s e n 30 ° = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 2 = 1

Logo:

u → ,   v → ,   w → = 1 ⋅ 3 ⋅ c o s 0 ° = 3

Passo 3

Agora, no item b), temos:

2 u → ,   v → + w → ,   u → - v → + w →

Utilizando as propriedades de produto misto:

2 u → ,   v → + w → ,   u → - v → + w → = 2 u → ,   v → ,   u → - v → + w → + 2 u → ,   w → ,   u → - v → + w →

= 2 u → ,   v → ,   u → - v → + 2 u → ,   v → ,   w → + 2 u → ,   w → ,   u → - v → + 2 u → ,   v → ,   w →

= 2 u → ,   v → ,   u → + 2 u → ,   v → ,   - v → + 2 u → ,   v → ,   w → + 2 u → ,   w → ,   u → + 2 u → ,   w → ,   - v →

= 4 u → ,   v → ,   w → = 4 ⋅ 3 = 12

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

  1. 3
  2. 12

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