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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 16a

Seja ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) uma base.

(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade

x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e 1 → , e 2 → , x → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 3 →

Passo 1

Bora lá!

No enunciado foi falado que ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) é uma base, então qualquer vetor x → pode ser escrito como um combinação linear desses três vetores. Logo, podemos escrever x → da seguinte maneira:

x → = α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 →

Passo 2

Realizando a substituição x → = α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → na igualdade dada no enunciado, temos:

α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → =

= α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → , e 2 → , e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 1 → + e 1 → , α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → , e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 2 → + e 1 → , e 2 → , α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 3 →          

Passo 3

Utilizando as propriedades do produto misto, que diz que ele é trilinear e a que diz que se o produto misto tiver dois veores iguais seu valor é NULO, podemos realizar as seguintes transformações:

α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → , e 2 → , e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] = α e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + β e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + γ e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → = α

e 1 → , α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → ,   e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] = α e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + β e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + γ e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → = β

e 1 → ,   e 2 → ,   α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] = α e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + β e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → + γ e 1 → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → = γ

Passo 4

Substituindo os valores do Passo 3 na equação do Passo 2, temos:

α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → =

= α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → , e 2 → , e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 1 → + e 1 → , α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → , e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 2 → + e 1 → , e 2 → , α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → [ e 1 → + e 2 → + e 3 → ] e 3 →          

α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 → = α e 1 → + β e 2 → + γ e 3 →

Portanto, podemos afirmar que para todo x → vale a seguinte igualdade:

x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e 1 → , e 2 → , x → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 3 →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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