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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 14

Seja f = cos 2 ⁡ x   e g = sin 2 ⁡ x . Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g ?

  1. cos ⁡ 2 x  
  2. 3 + x 2
  3. 1
  4. sin ⁡ x
  5. 0

Passo 1

Belezinha então galera bonita, pra alguma daquelas funções pertencerem ao espaço gerado por f e g , então temos que essa função h vai ser

h = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x  

Se existir um a e b que satisfaça essa relação, então nossa função pertence ao espaço.

Passo 2

Na letra (a), sabemos que por trigonometria que

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x

Então se h = cos ⁡ 2 x , temos que a = 1 e b = - 1 . Logo ela pertence ao espaço.

Passo 3

Na letra (b), temos 3 + x 2 então

3 + x 2 = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x

Mas h é um função do segundo grau, um polinômio, e f e g são funções trigonométricas, portanto não conseguimos gerar h e ela não pertence ao espaço.

Passo 4

Já na letra (c), temos h = 1 , então

h = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x ⇒ 1 = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x

E por trigonometria, sabemos que

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

Portanto a = 1 e b = 1 , e h pertence ao espaço.

Passo 5

E na letra (d), temos h = sin ⁡ x , então

sin ⁡ x = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x

Mas não existe nenhum a e b que satisfaça essa relação, portanto ele não pertence ao espaço gerado.

Passo 6

E por último temos a letra (e), h = 0 , e

0 = acos 2 ⁡ x + b sin 2 ⁡ x ⇒ 0 = 0 cos 2 ⁡ x + 0 sin 2 ⁡ x

Então a = 0 e b = 0 , portanto h pertence ao espaço gerado

Resposta

  1. Pertence.
  2. Não pertence.
  3. Pertence.
  4. Não pertence.
  5. Pertence.
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b. ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y ;
c. B ∈ M n nA B = 0 - } .
b. O conjunto de todas as funções contínuas não decrescentes em [ 0,1 ] .
h. ( x , y , z ) , tais que z 2 = x 2 + y ² ²;
c. ( x , y , z , w ) , tais que x = y = 0 ;