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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 37

Seja T o operador linear dado pela matriz:

1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2

a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) .

b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .

Passo 1

A questão fornece a matriz de transformação linear e pede para encontramos o núcleo e a imagem da transformação.

Um vetor ( x , y , z ) está no núcleo de T se T x , y , z = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Assim, devemos ter

1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 ⋅ x y z = 0 0 0

Assim, temos que resolver o sistema

x + 2 y - z = 0 2 x                   + z = 0 x - 2 y + 2 z = 0

Passo 2

Vamos resolver o sistema pelo método do escalonamento. Multiplicando a primeira equação por ( - 2 ) :

- 2 x - 4 y + 2 z = 0

Somando ela com a segunda:

- 4 y + 2 z + z = 0 ⇒ - 4 y + 3 z = 0

Analogamente, multiplicando a primeira equação por ( - 1 ) :

- x - 2 y + z = 0

Somando-a com a terceira:

- 4 y + 3 z = 0

Portanto, o sistema fica

x + 2 y - z = 0 - 4 y + 3 z = 0 - 4 y + 3 z = 0

Como as duas últimas equações são idênticas, podemos descartar a última. Temos então

x + 2 y - z = 0 - 4 y + 3 z = 0

O sistema já está escalonado. Temos que

y = 3 z 4

Substituindo na primeira equação:

x + 3 z 2 - z = 0 ⇒ x = z - 3 z 2 = - z 2

Logo,

x , y , z = - z 2 , 3 z 4 , z = z 4   ( - 2 ,   3 ,   4 )

Assim, vemos que o núcleo é gerado pelo vetor ( - 2 ,   3 ,   4 ) :

N T = - 2 ,   3 ,   4

Vemos também que

dim ⁡ N T = 1

Passo 3

A imagem é gerada pelas colunas da matriz. Desta forma, B = 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   0 ,   - 2 ,   - 1 ,   1 ,   2 é um conjunto gerador para I m T . Pelo teorema da dimensão:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ R 3 = 3

Como dim ⁡ N T = 1 , temos que

dim ⁡ I m ( T ) = 2

Assim, o podemos descartar um dos vetores de B (ele é LD). Descartando o último vetor, temos que a imagem é gerada por

I m T = [ 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   0 ,   - 2 ]

Resposta

N T = - 2 ,   3 ,   4

dim ⁡ N T = 1

I m T = [ 1 ,   2 ,   1 ,   2 ,   0 ,   - 2 ]

dim ⁡ I m ( T ) = 2

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