Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .

N T = - 2 ,3 ,4 dim ⁡ N T = 1 I m T = [ 1 ,2 ,1 ,2 ,0 ,- 2 ] dim ⁡ I m ( T ) = 2

Enunciado

A questão fornece a matriz de transformação linear e pede para encontramos o núcleo e a imagem da transformação.

Um vetor está no núcleo de se . Assim, devemos ter

Assim, temos que resolver o sistema

Vamos resolver o sistema pelo método do escalonamento. Multiplicando a primeira equação por :

Somando ela com a segunda:

Analogamente, multiplicando a primeira equação por :

Somando-a com a terceira:

Portanto, o sistema fica

Como as duas últimas equações são idênticas, podemos descartar a última. Temos então

O sistema já está escalonado. Temos que

Substituindo na primeira equação:

Logo,

Assim, vemos que o núcleo é gerado pelo vetor :

Vemos também que

A imagem é gerada pelas colunas da matriz. Desta forma, é um conjunto gerador para . Pelo teorema da dimensão:

Como , temos que

Assim, o podemos descartar um dos vetores de (ele é LD). Descartando o último vetor, temos que a imagem é gerada por