As transformações S :R 2 → R 3 e T :R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .a) Sendo B = { 1 ,0 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 } uma base do R 3 , determinar a matriz S ∘ T B .b) Determinar T ∘ S B ' e T ∘ S B ' ' , sendo B ' = { 1 ,1 ,0 ,- 1 } e B ' ' a base canônica.

S ∘ T B = - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0 T ∘ S B ' ' = 0 1 1 - 1 T ∘ S B ' = 1 - 1 1 - 2

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 44

As transformações e são tais que e .

a) Sendo uma base do , determinar a matriz .

b) Determinar e , sendo e a base canônica.

Passo 1

O problema nos fornece duas transformações lineares e e pede para fazermos considerações sobre e . Para isso, lembre-se que as matrizes de transformação se relacionam por

No item (a), vamos estudar a transformação . Vamos achar a matriz de transformação na base canônica. Para isso, calculemos

Assim,

Analogamente,

Logo,

Passo 2

Fazendo o produto de matrizes:

Essa é a transformação na base canônica. Queremos escrever ela na base .

Da matriz de transformação canônica, tiramos que

Assim, podemos escrever

Agora só precisamos escrever esses vetores na base :

Logo, temos que

Temos que , e . Logo,

Analogamente,

Portanto, , e :

Com isso, chegamos que nessa base, a matriz de transformação é

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Primeiro vamos achar a matriz canônica:

Como a base é base canônica, temos que

Agora vamos tentar escrever essa matriz na base . Da matriz canônica, tiramos

Portanto,

Só falta escrevermos esses vetores na base :

Assim,

Portanto, , de modo que

Analogamente,

Logo, e :

Assim, na base :

Resposta

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22. Prove que o traço é um invariante de semelhança.

21. Já que a base canônica de R n é tão simples, por que quereríamos representar um operador linear de R n em alguma outra base?

20. Se A e B forem matrizes semelhantes, digamos, B = P - 1 A P , então segue do Exercício 19 que A e B têm os mesmos autovalores. Suponha que λ seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor

17. Sejam C e D matrizes m × n e B = v 1 , v 2 , … , v n uma base de um espaço vetorial V . Mostre que se C x B = D x B , qualquer que seja x em V , então C = D .

15. Seja λ um autovalor de um operador linear T : T → V . Prove que os autovetores de T associados a λ são os vetores não nulos no núcleo de λ I - T .