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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 44

As transformações S :   R 2 → R 3 e T :   R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .

a) Sendo B = { 1 ,   0 , - 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 } uma base do R 3 , determinar a matriz S ∘ T B .

b) Determinar T ∘ S B ' e T ∘ S B ' ' , sendo B ' = { 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 } e B ' ' a base canônica.

Passo 1

O problema nos fornece duas transformações lineares S e T e pede para fazermos considerações sobre S ∘ T e T ∘ S . Para isso, lembre-se que as matrizes de transformação se relacionam por

A ∘ B = A ⋅ [ B ]

No item (a), vamos estudar a transformação S ∘ T . Vamos achar a matriz de transformação na base canônica. Para isso, calculemos

S 1 ,   0 = ( 0 ,   1 ,   2 )

S 0 ,   1 = ( 1 , - 1 ,   2 )

Assim,

S = 0 1 1 - 1 2 2

Analogamente,

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   1 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   0 )

Logo,

T = 1 0 0 0 1 0

Passo 2

Fazendo o produto de matrizes:

S ∘ T = S ⋅ T = 0 1 1 - 1 2 2 ⋅ 1 0 0 0 1 0 = 0 1 0 1 - 1 0 2 2 0

Essa é a transformação na base canônica. Queremos escrever ela na base B = { 1 ,   0 , - 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 } .

Da matriz de transformação canônica, tiramos que

S ∘ T 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   1 ,   2 )

S ∘ T 0 ,   1 ,   0 = ( 1 , - 1 ,   2 )

S ∘ T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   0 ,   0 )

Assim, podemos escrever

S ∘ T 1 ,   0 , - 1 = S ∘ T 1 ,   0 ,   0 - S ∘ T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   2 )

S ∘ T 1 ,   1 ,   1 = S ∘ T 1 ,   0 ,   0 + S ∘ T 0 ,   1 ,   0 + S ∘ T 0 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   0 ,   4 )

S ∘ T 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   1 ,   2 )

Agora só precisamos escrever esses vetores na base B :

0 ,   1 ,   2 = a 1 ,   0 , - 1 + b 1 ,   1 ,   1 + c 1 ,   0 ,   0 = ( a + b + c , b ,   - a + b )

Logo, temos que

a + b + c = 0 b = 1 - a + b = 2

Temos que b = 1 , a = - 1 e c = 0 . Logo,

S ∘ T 1 ,   0 , - 1 = S ∘ T 1 ,   0 ,   0 = - 1 ,   1 ,   0 B

Analogamente,

1 ,   0 ,   4 = a 1 ,   0 , - 1 + b 1 ,   1 ,   1 + c 1 ,   0 ,   0 ⇒ a + b + c = 1 b = 0 - a + b = 4

Portanto, b = 0 , a = - 4 e c = 5 :

S ∘ T 1 ,   1 ,   1 = - 4 ,   0 ,   5 B

Com isso, chegamos que nessa base, a matriz de transformação é

S ∘ T B = - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Primeiro vamos achar a matriz canônica:

T ∘ S = T ⋅ S = 1 0 0 0 1 0 ⋅ 0 1 1 - 1 2 2 = 0 1 1 - 1

Como a base B ' ' é base canônica, temos que

T ∘ S B ' ' = 0 1 1 - 1

Agora vamos tentar escrever essa matriz na base B ' = { 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 } . Da matriz canônica, tiramos

T ∘ S 1 ,   0 = ( 0 ,   1 )

T ∘ S 0 ,   1 = ( 1 , - 1 )

Portanto,

T ∘ S 1 ,   1 = T ∘ S 1 ,   0 + T ∘ S 0 ,   1 = 0 ,   1 + 1 , - 1 = ( 1 ,   0 )

T ∘ S 0 ,   - 1 = - T ∘ S 0 ,   1 = - 1 , - 1 = ( - 1 ,   1 )

Só falta escrevermos esses vetores na base B ' :

1 ,   0 = a 1 ,   1 + b 0 , - 1 = ( a , a - b )

Assim,

a = 1 a - b = 0

Portanto, a = b = 1 , de modo que

T ∘ S 1 ,   1 = 1 ,   1 B '

Analogamente,

- 1 ,   1 = ( a , a - b ) ⇒ a = - 1 a - b = 1

Logo, a = - 1 e b = - 2 :

T ∘ S 0 , - 1 = - 1 , - 2 B '

Assim, na base B ' :

T ∘ S B ' = 1 - 1 1 - 2

Resposta

S ∘ T B = - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

T ∘ S B ' ' = 0 1 1 - 1

T ∘ S B ' = 1 - 1 1 - 2

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