Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 4c

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?

c) 1 +   x +   x 2 ,   x +   x 2 ,   x 2

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 polinômios temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 1 +   x +   x 2   + b ⋅ x +   x 2 + c ⋅ ( x 2 ) = 0

Sendo:

p 1 = 1 +   x +   x 2   ,   p 2 = x +   x 2 ,   x 2 .

Esse tipo de sistema tem como usar uma regrinha especial pra analisá-lo, vamos fazer uma matriz canônica 3 x 3 sendo nossos vetores os vetores colunares da nossa matriz, assim temos:

p 3 , p 2 ,   p 1 = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Como nossa matriz está na forma escalonada nosso conjunto de vetores será necessariamente L.I.

Dica: Sempre que um conjunto de vetores poder ser arranjado na forma escalonada ele será necessariamente L.I.

Passo 2

Agora precisamos verificar se nosso conjunto de vetores gera nosso P 2 , assim:

a ⋅ 1 +   x +   x 2   + b ⋅ x +   x 2 + c ⋅ x 2 = k 1 + k 2 x + k 3 x 2

a = k 1 ,   b = k 2 - k 1 ,   c = k 3 - k 2

k 1 ⋅ 1 +   x +   x 2   + k 2 - k 1 ⋅ x +   x 2 + k 3 - k 2 ⋅ x 2 → k 1 + k 2 x + k 3 x 2

Logo nosso conjunto gera todo o P 2 , assim nosso conjunto é base de P 2 !

Isso é tudo pessoal!

Resposta

É base.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que o subconjunto { x 1 ,x 2 ,… ,x n } de vetores de um espaço vetorial V é L.D se, e somente se, existe um inteiro k ( 1 ≤ k ≤ n ) tal que x k é combinação linear dos demais vetores do conjun
Seja { u ,v ,w } um conjunto L.I de vetores de um espaço vetorial V . Provar que o conjunto { u + v - 3 w ,u + 3 v - w ,v + w ) é L.D.
Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R 3 dados abaixo sejam L.I. 3 ,5 m ,1 ,2 ,0 ,4 ,1 ,m ,3 { 1 ,3 ,5 ,2 ,m + 1 ,10 } { 6 ,2 ,n ,3 ,m + n ,m - 1 }
Mostrar que o conjunto { 1 , e^x , x e^x } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I.
Demonstrar que o conjunto { 1 , e^x , e^(2 x) } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I.