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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 18

Considere o subespaço de R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 , - 1,0 , 0 ) , v 2 = 0,0 , 1,1 , v 3 = - 2,2 , 1,1 e v 4 = ( 1,0 , 0,0 ) .

  1. O vetor 2 , - 3,2 , 2 ∈ [ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] ? Justifique.
  2. Exiba uma base para [ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ] . Qual é a dimensão?
  3. v 1 , v 2 , v 3 , v 4 = R 4 ? Por quê?

Passo 1

  1. Para responder essa pergunta, devemos investigar se existem reais a ,   b ,   c   e   d tais que:

    2. 2 , - 3,2 , 2 = a 1 , - 1,0 , 0 + b 0,0 , 1,1 + c - 2,2 , 1,1 + d ( 1,0 , 0,0 )

    Que gera o seguinte sistema:

    a - 2 c + d = 2 - a + 2 c = - 3 b + c = 2 b + c = 2

    Somando a primeira e a segunda equação:

    d = - 1

    Da segunda equação:

    a = 3 + 2 c

    Da terceira:

    b = 2 - c

    Dessa forma, basta escolher um real c , digamos c = 0 :

    2 , - 3,2 , 2 = 3 1 , - 1,0 , 0 + 2 0,0 , 1,1 + 0 - 2,2 , 1,1 + - 1 ( 1,0 , 0,0 )

    Passo 2

  2. O primeiro passo nesse item é perceber que:

    3. v 3 = v 2 - 2 v 1

    Ou seja, podemos nos livrar do vetor v 3 .

    Vamos agora analisar uma combinação linear nula dos vetores v 1 , v 2   e   v 4 :

    a v 1 + b v 2 + c v 4 = 0

    Que gera o sistema:

    a + c = 0 - a = 0 b = 0 b = 0

    Ou seja:

    a = b = c = 0

    E os vetores são LI. Então a base é { v 1 , v 2 , v 4 } de dimensão 3.

    Passo 3

  3. Não, pois R 4 possui dimensão 4 e v 1 , v 2 , v 3 , v 4 possui dimensão 3.

Resposta

  1. Sim;
  2. v 1 , v 2   e   v 4 ;
  3. Não.
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