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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 11

Seja f : U × V ⟶ R uma forma bilinear. Seja u 0 um vetor fixo de U . Se W = v ∈ V     f u 0 ,   v = 0 } ,   prove que W é um subespaço vetorial de V .

Passo 1

Vamos só lembrar o que um conjunto W precisa para ser um subespaço vetorial:

  • 0 ∈ W
  • Se v ∈ W , então λ v ∈ W
  • Se u   e v ∈ W , então u + v ∈ W

Queremos mostrar que isso vale para W = v ∈ V     f u 0 ,   v = 0 }

Passo 2

Para mostrar a primeira propriedade vamos usar a propriedade da linearidade na segunda variável.

f u , v + w = f u , v + f u , w

Logo, temos que

f u , 0 = f u , 0 + 0 = f u , 0 + f u , 0 = 2 f ( u , 0 )

f u , 0 = 2 f u , 0 ⇒ f u , 0 = 0

Pronto. Sacada interessante, né?

Passo 3

Se u e v ∈ W , usando as propriedades de uma forma bilinear

f u 0 , u + v = f ( u 0 , v ) + f u 0 , v = 0 + 0 .

Logo, u + v ∈ W , pois f u 0 ,   u + v = 0 .

Passo 4

Se v   ∈ W , usando as propriedades de uma forma bilinear

f u 0 , λ v = λ f u 0 , v = λ . 0 = 0

Logo, λ v ∈ W , e mostramos tudo o que queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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