Considere o conjunto , formado por todas as formas lineares , onde é um espaço vetorial de dimensão , e é chamado de espaço dual de .
- Mostre que é um espaço vetorial.
- Mostre que, dada uma base de as formas definidas por , se e , se , formam uma base de .
- Conclua finalmente que são espaços vetoriais isomorfos.
Passo 1
- Vamos verificar os axiomas:
- Associativade da adição: Veja que
- Comutatividade:
- Elemento identidade da adição: Basta escolher .
- Elemento inverso da adição: Seja , tome .
- Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação do corpo: .
- Elemento identidade da multiplicação por escalar: veja que
- Distributividade:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição do corpo:
- Para que algo seja base, temos que cumprir duas coisas:
- Ele gera o espaço;
- Ele é LI.
- Dois espaços de dimensão finita com mesma dimensão são isomorfos. No item b) a gente provou que a dimensão de é . Mas a dimensão de também é , logo esses espaços vetoriais são isomorfos! Além disso .
Veja que muitos dos axiomas decorrem da linearidade das transformações.
Passo 2
Lembre-se que uma transformação linear é unicamente determinada pelos seus valores sobre os vetores da base, vamos considerar então , transformação qualquer de . Vamos considerar que .
Agora perceba que se escrevermos:
A gente vai ter:
Isto é, a forma linear é a mesma, já que ela assume os mesmos valores para os vetores da base.
Além disso, veja que se:
Podemos tomar :
Fazendo isso para todos os , temos:
Isto é, temos um conjunto que gera as formas lineares e esse conjunto é LI, logo ele é uma base do espaço dual.
Passo 3
Resposta
Demonstração.