Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 13

Considere o conjunto V * , formado por todas as formas lineares T : V → R , onde V é um espaço vetorial de dimensão n , e V * é chamado de espaço dual de V .

  1. Mostre que V *   é um espaço vetorial.
  2. Mostre que, dada uma base v 1 ,   … ,   v n de V 1 as formas T i : V → R definidas por T i v j = 0 , se i ≠ j e T i v j = 1 , se i = j , formam uma base de V * .
  3. Conclua finalmente que V   e   V * são espaços vetoriais isomorfos.

Passo 1

  1. Vamos verificar os axiomas:
    1. Associativade da adição: Veja que T 1 + T 2 + T 3 = T 1 + T 2 + T 3
    2. Comutatividade: T 1 + T 2 = T 2 + T 1
    3. Elemento identidade da adição: Basta escolher T i = 0 .
    4. Elemento inverso da adição: Seja T i , tome - T i .
    5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação do corpo: a b T = ( a b ) T .
    6. Elemento identidade da multiplicação por escalar: veja que 1 ∙ T = T
    7. Distributividade: a T 1 + T 2 = a T 1 + a T 2
    8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição do corpo: a + b T = a T + b T

    Veja que muitos dos axiomas decorrem da linearidade das transformações.

    Passo 2

  2. Para que algo seja base, temos que cumprir duas coisas:
    1. Ele gera o espaço;
    2. Ele é LI.

    Lembre-se que uma transformação linear é unicamente determinada pelos seus valores sobre os vetores da base, vamos considerar então T , transformação qualquer de V * . Vamos considerar que T v i = c i .

    Agora perceba que se escrevermos:

    T = c 1 T 1 + … + c n T n

    A gente vai ter:

    T v i = c 1 T 1 v i + … + c i T i v i + … + c n T n v i = c i

    Isto é, a forma linear é a mesma, já que ela assume os mesmos valores para os vetores da base.

    Além disso, veja que se:

    0 = α 1 T 1 + … + α n T n

    Podemos tomar T i ( v j ) :

    0 = α 1 T 1 v j + … + α n T n v j = α j

    Fazendo isso para todos os j , temos:

    α 1 = … = α n = 0

    Isto é, temos um conjunto que gera as formas lineares e esse conjunto é LI, logo ele é uma base do espaço dual.

    Passo 3

  3. Dois espaços de dimensão finita com mesma dimensão são isomorfos. No item b) a gente provou que a dimensão de V * é n . Mas a dimensão de V também é n , logo esses espaços vetoriais são isomorfos! Além disso n < ∞ .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A x , y , x ' , y ' = 3 x x ' - y y ' . Ache a forma quadrática Q :R 2 → R associada a A .Seja Q x , y = 2 x 2 + 4 x y - y 2 . Ache a matriz da forma bilinear associada.
Seja Q x , y = x 2 + 12 x y - 4 y 2 . Determine uma base β tal que v β = x 1 y 1eQ v = a x 1 2 + b y 1 2
Se M = - 1 2 3 2 , ache a forma bilinear B : R 2 × R 2 → R associada à matriz M . Esta forma bilinear é simétrica?
Uma forma quadrática Q é chamada positiva definida, se para todo v ≠ 0 , Q v0 .Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática postiva definida? (Pense na matriz diagonalizada.)A forma
Seja f uma forma linear de R 2 em R tal que f x , y = - x + 2 y Sejam α = { 1 , - 1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1 } bases de R 2 e R respectivamente. Se v α = - 3 5 , calcule f v β .