Provar que se f : U × V ⟶ R e g : U × V ⟶ R são bilineares, então f + g e λ f são bilineares ( λ ∈   R ) .

Passo 1

Vamos lá! Basicamente o que nós queremos mostrar nesse exercício é:

  1. f u + λ w , v = f u , u + λ f w , v
  2. f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Beleza?

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que f + g é bilinear usando a primeira equação

( f + g ) u + λ w , v = f u + λ w , v + g u + λ w , v

Como f e g são bilineares, as relações 1 e 2, valem para elas separadamente, então:

f + g u + λ w , v = f u , v + λ f w , v + g u , v + λ g ( w , v )

f + g u + λ w , v = f + g u , v + λ ( f + g ) ( w , v )

Como queríamos.

Para a eq. 2 é a mesma coisa:

f u , v + λ w = f u , v + λ w + g u , v + λ w

f + g u , v + λ w = f u , v + λ f u , w + g u , v + λ g ( u , w )

f + g u , v + λ w = f + g u , v + λ ( f + g ) ( u , w )

Pronto, já mostramos que as duas equações valem.

Passo 3

Agora vamos mostrar que λ f é bilinear. Para não confundirmos as coisas vamos trocar o λ por k ok?

A equação 1:

k f u + λ w , v = k f u + λ w , v = k ( f u , v + λ f w , v )

Fazendo a distribuitiva chegamos no que queremos:

k f u + λ w , v = k f u , v + λ ( k f ) ( w , v )

Do mesmo jeito:

k f u ,   v + λ w = k f u , v + λ w = k f u , v + λ f u , w = k f u , v + λ ( k f ) ( u , w )

Pronto!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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