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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 2

Provar que se f : U × V ⟶ R e g : U × V ⟶ R são bilineares, então f + g e λ f são bilineares ( λ ∈   R ) .

Passo 1

Vamos lá! Basicamente o que nós queremos mostrar nesse exercício é:

  1. f u + λ w , v = f u , u + λ f w , v

  2. f u , v + λ w = f u , v + λ f ( u , w )

Beleza?

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que f + g é bilinear usando a primeira equação

( f + g ) u + λ w , v = f u + λ w , v + g u + λ w , v

Como f e g são bilineares, as relações 1 e 2, valem para elas separadamente, então:

f + g u + λ w , v = f u , v + λ f w , v + g u , v + λ g ( w , v )

f + g u + λ w , v = f + g u , v + λ ( f + g ) ( w , v )

Como queríamos.

Para a eq. 2 é a mesma coisa:

f u , v + λ w = f u , v + λ w + g u , v + λ w

f + g u , v + λ w = f u , v + λ f u , w + g u , v + λ g ( u , w )

f + g u , v + λ w = f + g u , v + λ ( f + g ) ( u , w )

Pronto, já mostramos que as duas equações valem.

Passo 3

Agora vamos mostrar que λ f é bilinear. Para não confundirmos as coisas vamos trocar o λ por k ok?

A equação 1:

k f u + λ w , v = k f u + λ w , v = k ( f u , v + λ f w , v )

Fazendo a distribuitiva chegamos no que queremos:

k f u + λ w , v = k f u , v + λ ( k f ) ( w , v )

Do mesmo jeito:

k f u ,   v + λ w = k f u , v + λ w = k f u , v + λ f u , w = k f u , v + λ ( k f ) ( u , w )

Pronto!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que se B ( v , w ) é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida, então B ( v , w ) é um produto interno. Compare com o Exercício 3.
Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares. B : R 2 × R 2 → R definida por B x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 + y 2 B : V × V → R definida por B u , v = u , v .
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )