Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 1
Seja uma função. Mostre que:
- Se é uma transformação linear, então
- Se , então não é uma transformação linear.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos resolver essa questão que trata de demonstrar porque para um transformação ser considerada linear é necessário que o vetor nulo, continue sendo nulo, após a transformação.
Passo 2
Item a):
Vamos ter que testar para essa primeira transformação linear duas condições, e assim garantir que ela realmente é linear:
Vamos aplicar ao item a).
Vamos assumir dois vetores, e no caso podemos assumir que , então temos:
Juntando o as duas equações:
Então nossa transformação realmente é linear para soma.
Temos também que:
Então nossa transformação também é linear para o produto por escalar.
Passo 3
Item b):
Se , os itens não serão atendidos.
Na seção 3 desse capítulo vimos a definição de núcleo (5.3.4) e o teorema 5.3.9, que mostram primeiro que o núcleo de uma transformação linear, é o conjunto de vetores que após a transformação se tornam vetores nulos e no teorema vimos que a , ou seja, a dimensão de deve ser igual ao núcleo de mais a Imagem de .
A partir dessa definição e desse teorema podemos concluir duas coisas:
-o vetor nulo de sempre vai fazer parte do núcleo de .
-se qualquer vetor faz parte do núcleo de , após a transformação linear ele necessariamente se torna um vetor nulo
Então quando o exercício diz que , ele está falando que o vetor nulo de que está contido no núcleo de após a transformação não é vetor nulo, portanto podemos concluir que essa não é uma transformação linear.
Resposta
Demonstração.