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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 26

Seja I a matriz n × n cua entrada na linha i e coluna j é 1   s e   i = j 0   s e   i ≠ j . ostre que A I = I A = A

Passo 1

Podemos começar um exercício de demonstração generalizando uma matriz. Nesse caso, uma matriz A n × n . Assim:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Passo 2

Agora, vamos vamos definir uma matriz I da maneira que a i j = 1   s e   i = j 0   s e   i ≠ j . Essa configuração é de uma matriz identidade onde somente a diagonal principal possui entradas não nulas e elas são sempre 1 .

I = 1 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1

Passo 3

Vamos agora realizar o produto A I :

a 11 × 1 + 0 + … 0 + a 12 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a 13 × 1 + … a 21 × 1 + 0 + … 0 + a 22 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a 23 × 1 + … ⋯ … + 0 + a 1 n × 1 … + 0 + a 2 n × 1 ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 × 1 + 0 + … 0 + a n 2 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a n 3 × 1 + … ⋯ … + 0 + a n n × 1

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Portanto, A I = A

Passo 4

Vamos agora realizar o produto I A :

1 × a 11 + 0 + … 0 + 1 × a 12 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a 13 + … 1 × a 21 + 0 + … 0 + 1 × a 22 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a 23 + … ⋯ … + 0 + 1 × a 1 n … + 0 + 1 × a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ 1 × a n 1 + 0 + … 0 + 1 × a n 2 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a n 3 + … ⋯ … + 0 + 1 × a n n

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Portanto, I A = A

Resposta

Dessa forma, vemos que o produto A I e I A é comutativo e que sempre resultará A .

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Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão - 3 D + 2 E (se possível)
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:a) x 1 + 2 x 2 + -3 x 4 + x 5 + = 2 x 1+ 2 x 2 + x 3 -3 x 4 +x 5+ 2 x 6 = 3 x 1 + 2 x 2 + -3 x 4 +2 x 5+x 6 = 4 3 x 1+ 6 x 2 +x 3 - 9 x
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:b)x 1 +3 x 2 - 2 x 3 + 2 x 5 = 0 2 x 1+ 6 x 2-5 x 3 -2 x 4 +4 x 5 - 3 x 6 = - 1 5 x 3 +10 x 4 + +15 x 6 = 5 2 x 1+ 6 x 2 + + 8 x 4 +4 x
Considere a matriz A =1 1 1 1 1 3 - 2 a 2 2 a - 2 - a - 2 3 a - 1 3 a + 2 - 3 2 a + 1 . Determine o conjunto solução do sistema A X = B , em que B =4 3 1 6 t , para todos os valores de a .
Prove que: a) Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);