Seja I a matriz n × n cua entrada na linha i e coluna j é 1   s e   i = j 0   s e   i ≠ j . ostre que A I = I A = A

Passo 1

Podemos começar um exercício de demonstração generalizando uma matriz. Nesse caso, uma matriz A n × n . Assim:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Passo 2

Agora, vamos vamos definir uma matriz I da maneira que a i j = 1   s e   i = j 0   s e   i ≠ j . Essa configuração é de uma matriz identidade onde somente a diagonal principal possui entradas não nulas e elas são sempre 1 .

I = 1 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1

Passo 3

Vamos agora realizar o produto A I :

a 11 × 1 + 0 + … 0 + a 12 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a 13 × 1 + … a 21 × 1 + 0 + … 0 + a 22 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a 23 × 1 + … ⋯ … + 0 + a 1 n × 1 … + 0 + a 2 n × 1 ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 × 1 + 0 + … 0 + a n 2 × 1 + 0 + … 0 + 0 + a n 3 × 1 + … ⋯ … + 0 + a n n × 1

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Portanto, A I = A

Passo 4

Vamos agora realizar o produto I A :

1 × a 11 + 0 + … 0 + 1 × a 12 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a 13 + … 1 × a 21 + 0 + … 0 + 1 × a 22 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a 23 + … ⋯ … + 0 + 1 × a 1 n … + 0 + 1 × a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ 1 × a n 1 + 0 + … 0 + 1 × a n 2 + 0 + … 0 + 0 + 1 × a n 3 + … ⋯ … + 0 + 1 × a n n

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

Portanto, I A = A

Resposta

Dessa forma, vemos que o produto A I e I A é comutativo e que sempre resultará A .

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