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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 2

2. Provar que 〈u , lambda v〉 = 〈lambda u , v〉 = lambda 〈u , v〉 , AA lambda in R e AA u , v in R^n .

Passo 1

Putz... uma questão pra provar, mas calmaaa... Vamos fazer juntos e você vai ver que não é de outro mundo.

E você pode estar se perguntando: qqqqqq esse “A” de cabeça pra baixo? Ele significa “para todo”... então temos : “para todo lambda pertencente aos reais”...

Passo 2

Vamos tomar vetores u e v no R^n :

u = (u_1 , u_2 , ... , u_n)

v = (v_1 , v_2 , ... , v_n)

Se a gente multiplica um vetor por um escalar ( lambda no caso), ficamos com:

lambda u = (lambda u_1 , lambda u_2 , ... , lambda u_n)

lambda v = (lambda v_1 , lambda v_2 , ... , lambda v_n)

Passo 3

Vamos fazer os benditos produtos internos:

i)

〈u , lambda v〉 = u_1 lambda v_1 + u_2 lambda v_2 + ... + u_n lambda v_n

〈u , lambda v〉 = lambda (u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n)

ii)

〈lambda u , v〉 = lambda u_1 v_1 + lambda u_2 v_2 + ... + lambda u_n v_n

〈lambda u , v〉 = lambda (u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n)

iii)

lambda 〈u , v〉 = lambda (u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n)

Então, de i), ii) e iii), podemos concluir que:

〈u , lambda v〉 = 〈lambda u , v〉 = lambda 〈u , v〉

Como queríamos provar.

Resposta

〈u , lambda v〉 = 〈lambda u , v〉 = lambda 〈u , v〉

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