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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 7

Seja A uma matriz n   ×   n e sejam v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n   vetores linearmente independentes em R n expressos como matrizes n   ×   1 . Para ter A v 1 ,   A v 2 ,   .   .   .   ,   A v n   linearmente independentes, o que A deve satisfazer?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro vamos escrever nosso conjunto de vetores V , fica assim:

V = v 1 v 2 ⋮ v n  

Agora vamos escrever nossa matriz A .

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Pronto, para seguir adiante devemos lembrar que se V é linearmente independente.

a 1 v 1 + a 2 v 2 .   .   .   + a n v n = 0

Esse sistema só aceitará a solução trivial, ou seja, a 1 = a 2 … = a n = 0 .

Por fim vamos fazer A ⋅ V .

A ⋅ V = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ⋅ v 1 v 2 ⋮ v n

A ⋅ V = a 11 ⋅ v 1 + a 12 v 2 … a 1 n v n , …   a n 1 ⋅ v 1 + a n 2 v 2 … a n n v n

Para nosso espaço vetorial formado pelo produto A ⋅ V , não ser linearmente dependente só precisamos que A seja invertível, isso quer dizer que:

det ⁡ A ≠ 0 .

Isso é tudo pessoal, até a próxima!

Resposta

A seja Invertível, ou seja det ⁡ A ≠ 0 .

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