Seja V = R 4 munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo v ∈ R 4 que seja ortogonal a v 1 = ( 1 ,1 ,1 ,- 1 ) , v 2 = ( 1 ,2 ,0 ,1 ) e v 3 = ( - 4 ,1 ,5 ,2 ) .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 18

Seja munido do produto interno usual, determinar um vetor não nulo que seja ortogonal a , e .

Passo 1

Aqui a gente quer um vetor que seja ortogonal a todos esses vetores ao mesmo tempo! O que vamos fazer? Bom, dois vetores ortogonais têm produto interno igual a , então esse é o caminho. Vamos pegar um vetor genérico e fazer o produto interno dele com todos os que ele deu, igualando a .

Passo 2

Bora pra conta!

Com :

Passo 3

O nosso vetor tem que atender a todas essas equações! Vamos ter um sisteminha, ó:

Como a gente tem mais variáveis que equações, vamos ter infinitas soluções. Daí, se a gente achar uma solução, já valeu, porque ele só quer que a gente ache um. Vamos subtrair a primeira da segunda:

Agora vamos somar vezes a segunda na terceira pra cortar o :

Agora vamos sumir com o :

Volta com isso na equação marcada com :

Pra fechar, substitui na segunda equação:

Passo 4

Beleza, encontramos a solução geral! O vetor vai ser da forma:

Ele quer que a gente bote um vetor qualquer na resposta, então vamos pegar por exemplo!

Resposta

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Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem: u = 2 , - 1ev = ( - 2,4 ) e o produto interno do problema 1b. u = - x 2 + x - 3 e v = 3 x 2 - x + 1 e o produto interno do problema 5.

Sejam u = ( x 1 ,x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 . Para que valores de t ∈ R a função u ,v = x 1 y 1 + t x 2 y 2 é um produto interno sobre o R 2 ?

No espaço V = P 3 R consideremos o produto interno f ( t ) ,g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t .Calcular f ( t ) ,g ( t ) , f ( t ) ,g ( t ) e f t + g ( t ) quando f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 . Repita

Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .

Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .