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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 5

5. Seja a n o número de sequências de “1” e “2” cuja soma dos termos é n. Provar que a n + 1 = a n + a n - 1 . Deduzir a expressão de a n .

Passo 1

Calma calma... Vamos ir pensando aos poucos e tentar achar coisas que nos ajudem.

Vamos começar pelo começo kkk sempre bom, ne.. Vamos fazer o que já fizemos no exercício passado pra ver se achamos um padrão...

n = 1

Só uma sequência, então a 1 = 1

n = 2

Que pode ser 1 + 1 ou 2 . Duas sequências, né..., então a n = 2

n = 3

Pode ser: 1 + 1 + 1 ou 1 + 2 ou 2 + 1 . Três sequências. Então a n = 3

n = 4

Pode ser: 1 + 1 + 1 + 1 ou 1 + 1 + 2 ou 1 + 2 + 1   ou 2 + 1 + 1 ou 2 + 2 . Então a n = 5

n = 5

Pode ser: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ou 1 + 1 + 1 + 2 ou 1 + 1 + 2 + 1 ou 1 + 2 + 1 + 1 ou 2 + 1 + 1 + 1 ou 1 + 2 + 2 ou 2 + 1 + 2 ou 2 + 2 + 1 . Então a n = 8

Passo 2

Não sei se você reparou, maaaas caímos na sequência de Fibonacci... Putttz... dá um trabalho do cão, mas eu já te digo que a ordem de formação é:

a n = 1 + 5 n + 1 - 5 n 5

E podemos provar isso por indução... bem de boa...

Resposta

a n = 1 + 5 n + 1 - 5 n 5

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( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
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