Sejam alpha = {(0,2) , ( 2 , - 1 )} e beta = {(1,1 , 0) , (0,0 , - 1) , (1,0 , 1)} bases de R^2 e R^3 .

[S]_(beta)^(alpha) = [[[2],[4],[0]] [[0],[0],[- 4]]]

Dê a expressão para S ( x , y ) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Para resolver essa questão vamos ter que encontrar a transformação S ( x , y ) que está de acordo com a matriz [S]_(beta)^(alpha) e com as bases alpha e beta .

Passo 2

Pela base alpha podemos escrever o seguinte vetor:

(x , y)_alpha = a (0,2) + b ( 2 , - 1 )

(x , y) = (2 b , 2 a - b)

Agora temos que descobrir a e b . Assumindo que:

2 b = x -> b = (x)/(2)

Então:

2 a - b = y

E:

a = (2 y + x)/(4)

Podemos escrever v na base alpha :

[v]_alpha = [[[(2 y + x)/(4)],[(x)/(2)]]]

Passo 3

Agora podemos usar isso para descobrir qual matriz vamos utilizar para descobrir a transformação S ( x , y ) :

A [v]_alpha = [[[2],[4],[0]] [[0],[0],[- 4]]] [[[(2 y + x)/(4)],[(x)/(2)]]]

A [v]_alpha = [[[(4 y + 2 x)/(4)],[(8 y + 4 x)/(4)],[- 2 x]]] = [[[y + (x)/(2)],[2 y + x],[- 2 x]]]

Passo 4

Podemos aplicar a matriz [[[y + (x)/(2)],[2 y + x],[- 2 x]]] na base beta para finalmente descobrir a nossa transformação:

S (x , y) = (y + (x)/(2)) (1,1 , 0) + (2 y + x) (0,0 , - 1) + ( - 2 x ) ( 1,0 , 1 )

Continuando os cálculos:

S (x , y) = (y + (x)/(2) , y + (x)/(2) , 0) + (0,0 , - 2 y - x) + ( - 2 x , 0 , - 2 x )

S (x , y) = (y + (x)/(2) - 2 x , y + (x)/(2) , - 2 y - x - 2 x)

S (x , y) = ((2 y - 3 x)/(2) , (2 y + x)/(2) , - 2 y - 3 x)

Resposta

S (x , y) = ((2 y - 3 x)/(2) , (2 y + x)/(2) , - 2 y - 3 x)

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