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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 23

Sejam alpha = {(0,2) , ( 2 , - 1 )} e beta = {(1,1 , 0) , (0,0 , - 1) , (1,0 , 1)} bases de R^2 e R^3 .

[S]_(beta)^(alpha) = [[[2],[4],[0]] [[0],[0],[- 4]]]

Dê a expressão para S ( x , y ) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Para resolver essa questão vamos ter que encontrar a transformação S ( x , y ) que está de acordo com a matriz [S]_(beta)^(alpha) e com as bases alpha e beta .

Passo 2

Pela base alpha podemos escrever o seguinte vetor:

(x , y)_alpha = a (0,2) + b ( 2 , - 1 )

(x , y) = (2 b , 2 a - b)

Agora temos que descobrir a e b . Assumindo que:

2 b = x -> b = (x)/(2)

Então:

2 a - b = y

E:

a = (2 y + x)/(4)

Podemos escrever v na base alpha :

[v]_alpha = [[[(2 y + x)/(4)],[(x)/(2)]]]

Passo 3

Agora podemos usar isso para descobrir qual matriz vamos utilizar para descobrir a transformação S ( x , y ) :

A [v]_alpha = [[[2],[4],[0]] [[0],[0],[- 4]]] [[[(2 y + x)/(4)],[(x)/(2)]]]

A [v]_alpha = [[[(4 y + 2 x)/(4)],[(8 y + 4 x)/(4)],[- 2 x]]] = [[[y + (x)/(2)],[2 y + x],[- 2 x]]]

Passo 4

Podemos aplicar a matriz [[[y + (x)/(2)],[2 y + x],[- 2 x]]] na base beta para finalmente descobrir a nossa transformação:

S (x , y) = (y + (x)/(2)) (1,1 , 0) + (2 y + x) (0,0 , - 1) + ( - 2 x ) ( 1,0 , 1 )

Continuando os cálculos:

S (x , y) = (y + (x)/(2) , y + (x)/(2) , 0) + (0,0 , - 2 y - x) + ( - 2 x , 0 , - 2 x )

S (x , y) = (y + (x)/(2) - 2 x , y + (x)/(2) , - 2 y - x - 2 x)

S (x , y) = ((2 y - 3 x)/(2) , (2 y + x)/(2) , - 2 y - 3 x)

Resposta

S (x , y) = ((2 y - 3 x)/(2) , (2 y + x)/(2) , - 2 y - 3 x)

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Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x
Seja L : R 3 → R 3 onde T é a projeção do veotr v no plano 3 x + 2 y + z = 0 .Encontre T ( x , y , z ) .Encontre uma base ordenada β de R 3 , tal que T β β = 1 0 00 0 00 0 1
Ache a transformação linear T : R 3 → R 2 tal que T 1,0 , 0 = ( 2,0 ) , T 0,1 , 0 = 1,1 e T 0,0 , 1 = ( 0 , - 1 ) .Encontre v de R 3 tal que T v = ( 3,2 ) .
Seja T : R^2 - R^2 tal que [T] = [[[- 1],[0]] [[- 2],[1]]] . Ache os vetores u , v tal que:T (u) = u T (v) = - v
Seja P 3 = c o n j u n t od o sp o l i n ô m i o sc o mg r a um e n o ro ui g u a la3 ô , e T : P 3 → P 3 f → f ' ( d e r i v a d a ) Mostre que P 3 é um espaço vetorial de dimensão 4.Mostre que T é u