Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 23
Determinar uma matriz ortogonal cuja primeira linha seja .
Passo 1
Antes de começarmos a questão, é importante deixar claro que temos um problema com o enunciado da questão. Provavelmente, devido a um erro de digitação, vamos chegar a algo impossível de ser feito.
Ao decorrer da questão, este erro será identificado e iremos corrigir com o “provável” valor que deveria ter sido digitado.
Sem mais enrolação, vamos ao que interessa! Vamos a um jogo de quebra cabeça!
Sim, um quebra cabeça. É exatamente isto o que a questão está nos pedindo para fazer. Vamos utilizar cada informação dada no enunciado para nos ajudar na resolução do quebra cabeça.
Por exemplo, a questão diz que temos uma matriz ortogonal. Consequentemente, sabemos que ela é uma matriz quadrada. Depois, ela nos diz que os elementos da primeira linha são: .
Então, como temos uma matriz quadrada e a primeira linha tem dois elementos, temos:
Agora sim, já foi mais da metade do nosso quebra cabeça. Já sabemos qual a dimensão da nossa matriz e também já sabemos metade dos nossos elementos! Estamos caminhando muito bem nesse quebra cabeças!
Passo 2
Agora é a hora de nós nos jogarmos! Vamos partir para o tudo ou nada (para o tudo pois vamos resolver a questão sim!).
Para isto, vamos precisar lembrar de uma relação de matrizes com sua inversa. Lembram que, para uma matriz qualquer, vale a seguinte identidade:
Lembram desta relação? Pois é, vamos usar ela. Se a gente substitui a nossa matriz , temos:
Só que, como a matriz é ortogonal, temos . Consequentemente:
E esta será a relação que utilizaremos para descobrir os elementos e da matriz .
Passo 3
Pronto, agora só nos resta substituir a matriz na relação e efetuar os cálculos. Sendo assim, temos:
Lembram do que foi dito no enunciado da questão, que temos um erro no enunciado da questão? A coordenada foi igual a 5/25, e não igual a 1. Portanto, não temos uma matriz ortogonal cuja primeira linha é .
De fato, isto era impossível. De uma matriz ortogonal, podemos extrair das suas linhas e colunas um par de vetores cuja base é ortonormal.
Isto implicaria em possuir norma unitária. Entretanto, verificamos que:
O que está longe de ser unitário. Para que a norma do vetor fosse unitária, uma possibilidade seria que o denominador fosse ao invés de 5. Para a resolução da questão, vamos assumir que esta fosse a intenção correta na hora da digitação da questão.
Passo 4
Com esta correção, a nossa matriz será . Continuando os cálculos com esta matriz, temos:
Com isto, obtemos o seguinte sistema:
Cuja solução é e .
Portanto, temos duas possibilidades de matrizes ortogonais , elas são:
De fato, agora as linhas/colunas formam conjuntos de vetores ortogonais entre si e de norma unitária.
Resposta
De acordo com os dados do enunciado da questão, é impossível obter uma matriz ortogonal que possua a primeira linha . Assumindo que a primeira linha devesse ser , o que seria apenas um erro de digitação e possibilita a resolução da questão, as matrizes ortogonais que satisfazem este critério são: