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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 18

Seja D :   P 2   →   P 2 o operador de derivação D p =   p ' ( x ) . Nas partes (a) e (b), encontre a matriz de D em relação à base B   =   { p 1 ,   p 2 ,   p 3 } dada.

(a) p 1 =   1 ,   p 2 =   x ,   p 3 =   x 2

(b) p 1 =   2 ,   p 2 =   2 -   3 x ,   p 3 =   2 -   3 x +   8 x 2

(c) Use a matriz da parte ( a ) para calcular D ( 6 -   6 x +   24 x 2 ) .

(d) Repita as instruções da parte ( c ) para a matriz da parte ( b ) .

Passo 1

  1. Vamos lá pessoal! Sendo D , dada por:

    D p =   p ' ( x )

    Agora vamos aplicar D sobre os vetores: p 1 =   1 ,   p 2 =   x ,   p 3 =   x 2

    D p 1 = 0 → a

    D p 2 = 1 → c

    D p 3 = 2 x → b

    Sendo a ' b ' c ' , a matriz da base canônica de P 2 .

    Onde:

    a ' x 2 + b ' x + c ' = 0

    D p 1 D p 2 D p 3 ⋅ 0 0 0 0 0 2 a 0 b 0 = a ' b ' c '

    D B = 0 0 0 0 0 2 a 0 b 0

    Passo 2

  2. Vamos lá pessoal! Sendo D , dada por:

    D p =   p ' ( x )

    Agora vamos aplicar D sobre os vetores: p 1 =   2 ,   p 2 =   2 - 3 x ,   p 3 = 2 - 3 x + 8 x 2

    D p 1 = 0

    D p 2 = - 3 → c

    D p 3 = - 3 + 8 x → c ,   b

    Sendo a ' b ' c ' , a matriz da base canônica de P 2 .

    Onde:

    a x 2 + b x + c = 0

    D p 1 D p 2 D p 3 ⋅ 0 0 0 0 0 8 a 0 - 3 b - 3 b = a ' b ' c '

    D B = 0 0 0 0 0 8 a 0 - 3 b - 3 b

    Passo 3

  3. Nossa matriz da parte a) é dada por:

    0 0 0 0 0 2 a 0 b 0 = a ' b ' c '

    a ' = 0

    b ' = 2 a

    c ' = b

    Agora sendo nosso polinômio:

    p 1 = 6 -   6 x +   24 x 2

    D p 1 = 0 ⋅ x 2 + 2 ⋅ 24 x + ( - 6 )

    D B ⋅ p 1 = 48 x - 6

    Passo 3

Nossa matriz da parte b) é dada por:

0 0 0 0 0 8 a 0 - 3 b - 3 b = a ' b ' c '

a ' = 0

b ' = 8 a

c ' = - 9 b

Agora sendo nosso polinômio:

p 1 = 6 -   6 x +   24 x 2

D p 1 = 0 ⋅ x 2 + 8 ⋅ 24 x + - 9 ⋅ ( - 6 )

D B ⋅ p 1 = 192 x + 54

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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