Se P for uma matriz de transição de uma base B ' para uma base B e Q a matriz de transição de B para uma base C , qual é a matriz de transição de B ' para C ? Qual a matriz de transição de C para B ' ?

Passo 1

Esse é um exercício bem legal sobre mudanças sucessivas de base. Imagine que a gente tenha 3 bases: B , B ' e C .

Sabemos que

P B ' → B = P

P B → C = Q

Usando as relações de mudança de base, podemos escrever

w C = P B → C w B

Mas,

w B = P B ' → B w B '

Substituindo uma equação na outra:

w C = P B → C P B ' → B w B '

Mas sabemos também que

w C = P B ' → C w B '

Comparando as duas equações, achamos

P B ' → C = P B → C P B ' → B

Logo,

P B ' → C = Q P

Passo 2

Para achar a matriz de C para B ' , usamos a relação

A B - 1 = B - 1 A - 1

Assim,

P C → B ' = Q P - 1

Portanto,

P C → B ' = P - 1 Q - 1

Resposta

P B ' → C = Q P

P C → B ' = P - 1 Q - 1

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