Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 11

Seja um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) O operador é unitário (ortogonal).

b) O operador leva base ortonormal em base ortonormal.

c) Existe uma base ortonormal , tal que e uma base ortonormal.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) O operador é unitário (ortogonal).

b) O operador leva base ortonormal em base ortonormal.

c) Existe uma base ortonormal , tal que e uma base ortonormal.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar que o operador unitário, temos

Na letra (b) para mostrar o operador como base ortonormal em base ortonormal, temos

E por fim na letra ( c ) para mostrar a existência de base ortonormal temos,

, ficando

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

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Determinar todos os vetores do R 3 de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a( 2,1 , 2 ) e ( - 1 , 3,4 ) .

Considere a seguinte transformação linear do R 3 no R 2 : F x , y , z = x - y - z , 2 z - x . Determine uma base ortonormal de K e r F .

Considere no R 2 o produto interno dado por u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 Para todo par de vetores u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) de R 2 .Determinar m a fim de que os vetores

Determinar um vetor unitário do R 3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço w={ ( 1,2 , - 1 ) ,( - 1,0 , 2 ) } .

Seja g 1 , … , g n um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são ortogonais dois a dois. Prove que ∑ i = 1 n g i 2 = ∑ i - 1 n g i 2 (teorema de Pitágoras generalizado).