Seja T : V → V um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) O operador T é unitário (ortogonal).

b) O operador T leva base ortonormal em base ortonormal.

c) Existe uma base ortonormal B = V 1 , … , V n , tal que   T V 1 , … , T V n   e uma base ortonormal.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) O operador T é unitário (ortogonal).

b) O operador T leva base ortonormal em base ortonormal.

c) Existe uma base ortonormal B = V 1 , … , V n , tal que   T V 1 , … , T V n   e uma base ortonormal.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar que o operador T unitário, temos

P t P = I n

Na letra (b) para mostrar o operador T como base ortonormal em base ortonormal, temos

T V =   < V , W > → T V ≠ 0

E por fim na letra ( c ) para mostrar a existência de base ortonormal temos,

B = V 1 , … , V n , ficando

T V 1 , … , T V n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P t P = I n

b) T V ≠ 0

c) T V 1 , … , T V n

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