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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 5

Considere a seguinte transformação linear do R 3 no R 2 : F x , y , z = x - y - z , 2 z - x . Determine uma base ortonormal de K e r F .

Passo 1

Vamos lá! No Núcleo da transformação estão todos os elementos do R 3 que são transformados no elemento neutro do R 2 pela transformação F , ou seja:

F x , y , z = x - y - z , 2 z - x = ( 0,0 )

⇔   x - y - z = 0 2 z - x = 0

Resolvendo o sistema linear temos,

K e r F = x , y , z ∈   R 3   z = y }

Primeira coisa que vamos fazer é obter a base de K e r F :

K e r F = x , y , z ∈   R 3   z = y } = { ( x , y , y ) ∈   R 3 | x , y   ∈   R }

Portanto o conjunto β = 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 gera K e r F . Se você reparar eles não são múltiplos um do outro, então são L.I. Logo β é base de K e r F . Beleza?

Passo 2

Para construir a base ortogonal usamos o processo de Gram-Schmidt:

w 1 = ( 1,0 , 0 ) 1 = 1,0 , 0

w ' 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1 = ( 0,1 , 1 )

Então

w 2 = w ' 2 w ' 2 = ( 0,1 , 1 ) 2 = 0 , 1 2 , 1 2 ,

Logo, a base ortonormal é 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , .

Resposta

A base ortonormal é 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , .

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