Determinar um vetor unitário do R 3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço

w   =   { ( 1,2 , - 1 ) ,   ( - 1,0 , 2 ) } .

Passo 1

Vamos lá! Seja a , b , c o vetor procurado. Como ele é unitário, temos que

a 2 + b 2 + c 2 = 1

Devemos ter a , b , c . 1,2 , - 1 = 0 e a , b , c = - 1,0 , 2 = 0

Assim, obtemos as equações:

a + 2 b - c = 0

- a + 2 c = 0

Beleza?

Podemos tirar da segunda equação que a = 2 c . Substituindo esse valor na primeira equação:

a + 2 b - c = 0 ⟺ 2 c + 2 b - c = 0 ⟺ c + 2 b = 0 ⟺ c = - 2 b

Assim, como a = 2 c , segue que,

a = 2 c = 2 - 2 b = - 4 b

Por fim, substituindo na equação

a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⟺ - 4 b 2 + b 2 + - 2 b 2 = 1 ⟺ 16 b 2 + b 2 + 4 b 2 = 1 ⟺ 21 b 2 = 1 ⟺ b = ± 1 21 = ± 21 21

Portanto, para b = 21 21 , temos:

a = - 4 21 21 =   - 4 21 21

c = - 2 b = - 2 21 21 =   - 2 21 21

Para b = - 21 21 , temos:

a = - 4 - 21 21 =   4 21 21

c = - 2 b = - 2 - 21 21 =   2 21 21

Resposta

As duas possibilidades são

a , b , c = 4 21 21 , - 21 21 , 2 21 21

a , b , c = - 4 21 21 , 21 21 , - 2 21 21

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