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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 1

Considere no R 2 o produto interno dado por

u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1

Para todo par de vetores u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) de R 2 .

  1. Determinar m a fim de que os vetores ( 1 + m , 2 ) e ( 3 , m - 1 )   sejam ortogonais.
  2. Determinar todos os vetores do R 2 ortogonais a ( 2,1 ) .
  3. Determinar todos os vetores ( m , m - 1 ) de norma igual a 1 .

Passo 1

  1. Determinar m a fim de que os vetores ( 1 + m , 2 ) e ( 3 , m - 1 )   sejam ortogonais.

    2. Bora lá! Para os vetores serem ortogonais deve valer

    1 + m , 2 , 3 , m - 1 = 0

    Fazendo as continhas

    1 + m 3 + 2.2 . m - 1 - 1 + m m - 1 - 3.2 = 0

    ⇔ 3 + 3 m + 4 m - 4 - m 2 + 1 - 6 = 0

    ⇔   - m 2 + 7 m - 6 = 0

    ⇔ m = 1   o u   m = 6

    Beleza?

    Passo 2

  2. Determinar todos os vetores do R 2 ortogonais a ( 2,1 ) .

Opa! Queremos determinar todos os vetores do R 2 ortogonais a ( 2,1 ) . Portanto, deve valer

( x , y ) ( 2,1 ) = 0

Assim, fazendo as continhas

( x , y ) ( 2,1 ) = 0

⟺ 2 x + 2 . y . 1 - x . 1 - y . 2  

⟺ 2 x + 2 y - x - y = 0

⟺ x + y = 0   ⟺ x = y

Portanto S é o conjunto de todos os vetores ortogonais a 2,1 :

S = x , y ∈   R 2       x = y }

Show de bola?

Passo 2

  1. Determinar todos os vetores ( m , m - 1 ) de norma igual a 1 .

Vamos lá! Queremos Determinar todos os vetores ( m , m - 1 ) de norma igual a 1 , então deve valer

( m , m - 1 ) = | 1 |

Agora é só fazer as continhas:

( m , m - 1 ) = | 1 |

⟺   m , m - 1 m , m - 1 = 1

⟺   m m - 1 + 2 m m - 1 - m m - 1 - m m - 1 = 1

⟺   m m - 1 = | 1 |

⟺ m m - 1 = 1

⟺ m = 0   o u   m = 1

Show!?

Resposta

  1. m = 1   o u   m = 6
  2. S = x , y ∈   R 2       x = y }
  3. m = 0   o u   m = 1
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