Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 19
Seja o operador linear , .
a) Determinar , sendo .
b) Utilizar a matriz encontrada em (a) para calcular sabendo que .
Passo 1
O problema fornece uma transformação linear e pede para escrever a matriz de transformação na base . Para isso, precisamos calcular a transformação nos vetores da base :
Esses vetores estão na base canônica, precisamos convertê-los para a base . Para isso, basta usar a matriz de mudança de base de para , onde é a base canônica:
Essa matriz é construída escrevendo os vetores de na base . Invertendo essa matriz, obtemos:
Passo 2
Agora temos que escrever e na base . Para isso, lembre-se que
Assim,
Portanto,
Analogamente,
Logo,
Desta forma, a matriz de mudança de base será
Passo 3
Agora queremos achar onde . Primeiro vamos escrever na base :
Assim,
Aplicando o operador :
Portanto,