Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 22b
Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
Passo 1
A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.
Usando a base canônica:
Assim,
Note que se trata da transformação identidade.
Passo 2
A inversa da identidade é a própria indentidade:
Passo 3
Para achar a transposta, basta inverter linha com coluna:
Como temos , é ortogonal.
Resposta
Sim
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Determine a isometria do R 3 cuja matriz em à base canônica é 1 2 1 2 0 0 0 1 x y z Obs. x , y e z devem ser determinados numericamente.
Mostre que (I_2 - A) (I_2 + A)^(- 1) é uma matriz ortogonal, onde A = ([[0,5],[-,5,0]]) .
Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita é uma matriz ortogonal.
No espaço vetorial V = M N R consideremos o produto interno definido por A , B = t r A B t . Dada uma matriz M ∈ V , seja T M : V → V o operador linear definido por T M X = M X , ∀ X ∈ V . Mostre que
Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Sendo U um subespaço vetorial de V , indiquemos por E : V → U a projeção ortogonal de V sobre U . Provar que E é sobrejetora, isto é, I m E = U .